对于线性方程组Ax=b，下列说法正确的是（多选 少选均不得分）A. 若系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0，则可用高斯消去或LU分解法求解线性方程组的解B. 若A非奇异，则存在置换矩阵P使得A=PLUC. 若A为实对称正定矩阵，则可分解为 A=LL^T，且L为单位下三角矩阵

本题主要考查线性方程组求解方法以及矩阵分解相关知识，下面对每个选项进行详细分析：

选项A

• 考查知识点：高斯消去法和LU分解法的适用条件。
• 解题思路：当系数矩阵$A$的各阶顺序主子式不为$0$时，意味着在进行高斯消去法的过程中，主元不会为$0$，这样就可以顺利地将矩阵$A$化为上三角矩阵，从而求解线性方程组$Ax = b$。同时，由于主元不为$0$，矩阵$A$可以进行LU分解，即$A = LU$，其中$L$为单位下三角矩阵，$U$为上三角矩阵，进而也可以通过LU分解法求解线性方程组。
• 解析：高斯消去法的核心是通过一系列的初等行变换将增广矩阵$[A|b]$化为上三角矩阵$[U|c]$，然后回代求解。若$A$的各阶顺序主子式不为$0$，则在消元过程中不会出现主元为$0$的情况，消元可以正常进行。对于LU分解，根据矩阵分解的理论，当$A$的各阶顺序主子式不为$0$时，存在单位下三角矩阵$L$和上三角矩阵$U$，使得$A = LU$。将$Ax = b$转化为$LUx = b$，令$Ux = y$，则先求解$Ly = b$，再求解$Ux = y$，从而得到原方程组的解。所以选项A正确。

选项B

• 考查知识点：矩阵的PLU分解。
• 解题思路：若矩阵$A$非奇异，即$\vert A\vert\neq 0$，在进行高斯消去法时，可能会遇到主元为$0$的情况，此时需要通过行交换来避免。而行交换可以通过置换矩阵$P$来实现，经过一系列的行交换和消元操作后，可以将矩阵$A$分解为$A = PLU$的形式，其中$P$为置换矩阵，$L$为单位下三角矩阵，$U$为上三角矩阵。
• 解析：设$A$是一个$n\times n$的非奇异矩阵。在高斯消去过程中，若某一步的主元$a_{ii}^{(k)} = 0$（$k$表示消元的步骤），则可以选择第$i$行以下某一行$j$（$j > i$），使得$a_{ji}^{(k)}\neq 0$，将第$i$行和第$j$行交换，这一操作可以用置换矩阵$P_{ij}$表示，即$P_{ij}A$表示对$A$进行第$i$行和第$j$行的交换。经过若干次这样的行交换和消元操作后，最终可以得到$PA = LU$，其中$P$是若干个置换矩阵的乘积，仍然是置换矩阵，$L$是单位下三角矩阵，$U$是上三角矩阵，即$A = PLU$。所以选项B正确。

选项C

• 考查知识点：实对称正定矩阵的Cholesky分解。
• 解题思路：若$A$为实对称正定矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵$L$，使得$A = LL^{T}$，这就是Cholesky分解。但原选项中说$L$为单位下三角矩阵是错误的，应该是下三角矩阵，不一定是单位下三角矩阵。
• 解析：设$A$是实对称正定矩阵，根据Cholesky分解定理，存在下三角矩阵$L$，使得$A = LL^{T}$。例如，对于$2\times 2$的实对称正定矩阵$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}$，其中$a_{11}>0$，$a_{22}-a_{12}^{2}/a_{11}>0$，其Cholesky分解为$L=\begin{pmatrix}\sqrt{a_{11}}&0\\a_{12}/\sqrt{a_{11}}&\sqrt{a_{22}-a_{12}^{2}/a_{11}}\end{pmatrix}$，一般情况下$L$不是单位下三角矩阵。所以选项C错误。