题目

【对弧长的曲线积分：对称性】设L为x^2+y^2=R^2，则oint_(L)(x+y+1)ds=①π. ② 2pi. ③ pi R. ④ 2pi R.请选择你的答案bigcirc①bigcirc②bigcirc③bigcirc④

【对弧长的曲线积分：对称性】 设L为$x^{2}+y^{2}=R^{2}$，则$\oint_{L}(x+y+1)ds=$ ①π. ②$ 2\pi$. ③$ \pi R$. ④$ 2\pi R$. 请选择你的答案 $\bigcirc$① $\bigcirc$② $\bigcirc$③ $\bigcirc$④

题目解答

答案

为了计算对弧长的曲线积分 $\oint_{L}(x+y+1)ds$，其中 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = R^2$，我们可以利用对称性来简化计算。 首先，将圆 $L$ 参数化。可以使用参数 $t$，其中 $0 \leq t < 2\pi$，来表示圆上的点： \[ x = R \cos t, \] \[ y = R \sin t. \] 弧长元素 $ds$ 可以表示为： \[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. \] 计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$： \[ \frac{dx}{dt} = -R \sin t, \] \[ \frac{dy}{dt} = R \cos t. \] 因此， \[ ds = \sqrt{(-R \sin t)^2 + (R \cos t)^2} \, dt = \sqrt{R^2 \sin^2 t + R^2 \cos^2 t} \, dt = \sqrt{R^2 (\sin^2 t + \cos^2 t)} \, dt = R \, dt. \] 现在，将 $x = R \cos t$，$y = R \sin t$ 和 $ds = R \, dt$ 代入曲线积分： \[ \oint_{L} (x + y + 1) \, ds = \int_{0}^{2\pi} (R \cos t + R \sin t + 1) R \, dt. \] 这可以分解为三个积分： \[ \int_{0}^{2\pi} (R \cos t + R \sin t + 1) R \, dt = R^2 \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt + R^2 \int_{0}^{2\pi} \sin t \, dt + R \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt. \] 分别计算每个积分： \[ R^2 \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt = R^2 \left[ \sin t \right]_{0}^{2\pi} = R^2 (\sin 2\pi - \sin 0) = R^2 \cdot 0 = 0, \] \[ R^2 \int_{0}^{2\pi} \sin t \, dt = R^2 \left[ -\cos t \right]_{0}^{2\pi} = R^2 (-\cos 2\pi + \cos 0) = R^2 \cdot 0 = 0, \] \[ R \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = R \left[ t \right]_{0}^{2\pi} = R (2\pi - 0) = 2\pi R. \] 将这些结果相加，得到： \[ R^2 \int_{0}^{2\pi} \cos t \, dt + R^2 \int_{0}^{2\pi} \sin t \, dt + R \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt = 0 + 0 + 2\pi R = 2\pi R. \] 因此，曲线积分的值是 $\boxed{2\pi R}$。 正确答案是 $\boxed{④}$。

解析

本题考查对弧长的曲线积分的计算，解题思路是先将圆曲线进行参数化，求出弧长元素 $ds$，再将参数方程代入曲线积分表达式，最后利用积分的性质分别计算各项积分并求和。

  1. 圆曲线参数化：
    • 对于圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$，使用参数 $t$（$0\leq t < 2\pi$）表示圆上的点，参数方程为 $x = R\cos t$，$y = R\sin t$。
  2. 计算弧长元素 $ds$：
    • 先求 $x$ 和 $y$ 对 $t$ 的导数，$\frac{dx}{dt}=-R\sin t$，$\frac{dy}{dt}=R\cos t$。
    • 根据弧长元素公式 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$，可得：
      • $ds=\sqrt{(-R\sin t)^2+(R\cos t)^2}dt=\sqrt{R^{2}\sin^{2}t + R^{2}\cos^{2}t}dt$。
      • 由三角函数的平方关系 $\sin^{2}t+\cos^{2}t = 1$，则 $ds=\sqrt{R^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}dt=Rdt$。
  3. 将参数方程和 $ds$ 代入曲线积分：
    • 曲线积分 $\oint_{L}(x + y + 1)ds=\int_{0}^{2\pi}(R\cos t+R\sin t + 1)Rdt$。
    • 展开可得 $R^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos tdt+R^{2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt+R\int_{0}^{2\pi}1dt$。
  4. 分别计算各项积分：
    • 计算 $R^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos tdt$：
      • 根据积分公式 $\int\cos tdt=\sin t + C$，则 $R^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos tdt=R^{2}[\sin t]_{0}^{2\pi}$。
      • 代入上下限得 $R^{2}(\sin2\pi-\sin0)=R^{2}(0 - 0)=0$。
    • 计算 $R^{2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt$：
      • 根据积分公式 $\int\sin tdt=-\cos t + C$，则 $R^{2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt=R^{2}[-\cos t]_{0}^{2\pi}$。
      • 代入上下限得 $R^{2}(-\cos2\pi+\cos0)=R^{2}(-1 + 1)=0$。
    • 计算 $R\int_{0}^{2\pi}1dt$：
      • 根据积分公式 $\int1dt=t + C$，则 $R\int_{0}^{2\pi}1dt=R[t]_{0}^{2\pi}$。
      • 代入上下限得 $R(2\pi-0)=2\pi R$。
  5. 求和得到最终结果：
    • 将上述三项积分结果相加，$R^{2}\int_{0}^{2\pi}\cos tdt+R^{2}\int_{0}^{2\pi}\sin tdt+R\int_{0}^{2\pi}1dt=0 + 0+2\pi R=2\pi R$。