题目
3.（10.0分）已知vec(E)为x+y+z=1（第一卦限上侧），则iintlimits_(Sigma)(x+y+z)^2dxdz=
3.（10.0分）
已知$\vec{E}$为x+y+z=1（第一卦限上侧），则$\iint\limits_{\Sigma}(x+y+z)^{2}dxdz=$
题目解答
答案
为了求解曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma}(x+y+z)^{2}dxdz$，其中 $\Sigma$ 是平面 $x + y + z = 1$ 在第一卦限的上侧，我们首先需要将曲面积分转换为二重积分。平面 $x + y + z = 1$ 可以表示为 $y = 1 - x - z$。曲面积分的公式为：
\[
\iint\limits_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS = \iint\limits_{D} f(x, y(x, z), z) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2} \, dxdz
\]
其中 $D$ 是 $xz$-平面上的投影区域。对于平面 $y = 1 - x - z$，我们有 $\frac{\partial y}{\partial x} = -1$ 和 $\frac{\partial y}{\partial z} = -1$。因此，曲面元素 $dS$ 为：
\[
dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dxdz = \sqrt{3} \, dxdz
\]
由于 $f(x, y, z) = (x + y + z)^2$，且在曲面上 $x + y + z = 1$，我们有 $f(x, y, z) = 1^2 = 1$。因此，曲面积分变为：
\[
\iint\limits_{\Sigma} (x + y + z)^2 \, dS = \iint\limits_{D} 1 \cdot \sqrt{3} \, dxdz = \sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz
\]
投影区域 $D$ 是 $xz$-平面上由 $x \geq 0$， $z \geq 0$，和 $x + z \leq 1$ 围成的三角形。这个三角形的面积为：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}
\]
因此，二重积分 $\iint\limits_{D} \, dxdz$ 等于三角形的面积，即 $\frac{1}{2}$。所以，曲面积分为：
\[
\sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
最终答案是：
\[
\boxed{\frac{\sqrt{3}}{2}}
\]
解析
本题考查对坐标的曲面积分的计算，解题思路是先将曲面积分转化为二重积分，再确定投影区域，最后计算二重积分。
- 将曲面积分转化为二重积分：
已知平面方程$x + y + z = 1$，可表示为$y = 1 - x - z$。
对于曲面积分$\iint\limits_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS$，其转化为二重积分的公式为$\iint\limits_{\Sigma} f(x, y, z) \, dS = \iint\limits_{D} f(x, y(x, z), z) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2} \, dxdz$，其中$D$是$\Sigma$在$xz$ - 平面上的投影区域。
对$y = 1 - x - z$求偏导数：- $\frac{\partial y}{\partial x} = -1$；
- $\frac{\partial y}{\partial z} = -1$。
则曲面元素$dS$为：
$dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-1)^2} \, dxdz = \sqrt{1 + 1 + 1} \, dxdz = \sqrt{3} \, dxdz$。
又因为在曲面$\Sigma$上$x + y + z = 1$，所以$f(x, y, z)=(x + y + z)^2 = 1^2 = 1$。
那么原曲面积分$\iint\limits_{\Sigma}(x + y + z)^{2}dS$就变为$\iint\limits_{D} 1 \cdot \sqrt{3} \, dxdz = \sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz$。
- 确定投影区域$D$：
由于$\Sigma$是平面$x + y + z = 1$在第一卦限的部分，所以$x\geq0$，$y\geq0$，$z\geq0$。
在$xz$ - 平面上，$y = 0$，结合$x + y + z = 1$可得$x + z\leq1$，同时$x\geq0$，$z\geq0$，所以投影区域$D$是由$x = 0$，$z = 0$和$x + z = 1$所围成的三角形。 - 计算二重积分：
$\iint\limits_{D} \, dxdz$表示投影区域$D$的面积。
对于由$x = 0$，$z = 0$和$x + z = 1$所围成的三角形，其底和高都为$1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}\times底\times高$，可得$D$的面积为$\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。
所以$\sqrt{3} \iint\limits_{D} \, dxdz = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。