题目

5.判断题判断题：函数项级数sum_(n=1)^infty(x^n)/(n^2)在(-1,1)上可逐项求导。A. 对B. 错

5.判断题 判断题：函数项级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$在(-1,1)上可逐项求导。

A. 对

B. 错

题目解答

答案

A. 对

解析

本题考查函数项级数逐项求导的相关知识。解题的关键在于判断函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$在区间$(-1,1)$上是否满足逐项求导的条件。

对于函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)$，若要在区间$(a,b)$上可逐项求导，需要满足以下两个条件：

  1. 函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}(x)$在区间$(a,b)$内收敛。
  2. 导函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x)$在区间$(a,b)$内一致收敛。

下面我们来逐步分析：

  1. 判断函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$在区间$(-1,1)$内的收敛性：
    • 对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}x^{n}$（这里$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$），可使用比值判别法求其收敛半径$R$。
    • 根据比值判别法公式$R=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\right|$，其中$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$，$a_{n+1}=\frac{1}{(n + 1)^{2}}$。
    • 则$R=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{(n + 1)^{2}}}\right|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{2}$。
    • 对$\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{2}$进行化简，$\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n + 1}{n}\right)^{2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{2}$。
    • 根据极限运算法则，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^{2}=(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n}))^{2}=1^{2}=1$。
    • 即幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$的收敛半径$R = 1$，所以该幂级数在区间$(-1,1)$内绝对收敛，从而在区间$(-1,1)$内收敛。
  2. 求导函数项级数并判断其在区间$(-1,1)$内的一致收敛性：
    • 对$u_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n^{2}}$求导，根据求导公式$(x^{n})^\prime=nx^{n - 1}$，可得$u_{n}'(x)=\frac{nx^{n - 1}}{n^{2}}=\frac{x^{n - 1}}{n}$。
    • 对于导函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}'(x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n - 1}}{n}$，同样使用比值判别法求其收敛半径$R'$。
    • 这里$a_{n}'=\frac{1}{n}$，$a_{n + 1}'=\frac{1}{n+1}$，则$R'=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}'}{a_{n + 1}'}\right|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n + 1}}\right|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}$。
    • 因为$\frac{n + 1}{n}=1+\frac{1}{n}$，所以$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n + 1}{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n}) = 1$，即导函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n - 1}}{n}$的收敛半径$R' = 1$。
    • 对于幂级数，在收敛区间$(-R',R')$内是一致收敛的，所以导函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n - 1}}{n}$在区间$(-1,1)$内一致收敛。

由于函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$在区间$(-1,1)$内收敛，且其导函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n - 1}}{n}$在区间$(-1,1)$内一致收敛，所以函数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n^{2}}$在$(-1,1)$上可逐项求导。