题目

2.设P(A)=P(B)=0.5，P(A∪B)=1，则P(overline(A)cupoverline(B))=_____.

2.设P(A)=P(B)=0.5，P(A∪B)=1，则$P(\overline{A}\cup\overline{B})=$_____.

题目解答

答案

由已知条件 $ P(A) = P(B) = 0.5 $ 和 $ P(A \cup B) = 1 $，利用概率加法公式得： \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \implies 1 = 0.5 + 0.5 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0. \] 根据德摩根定律， \[ \overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}, \] 故 \[ P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B) = 1. \] 答案：$\boxed{1}$

解析

本题考查概率的基本公式以及德摩根定律的应用。解题思路如下：

  1. 首先，根据概率加法公式$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$，已知$P(A)=P(B)=0.5$和$P(A \cup B)=1$，可以求出$P(A \cap B)$的值。
    • 将已知值代入概率加法公式：
      $\begin{align*}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) - P(A \cap B)\\1 &= 0.5 + 0.5 - P(A \cap B)\end{align*}$
    • 然后进行计算：
      $\begin{align*}1&=1 - P(A \cap B)\\P(A \cap B)&=1 - 1\\P(A \cap B)&= 0\end{align*}$
  2. 接着，利用德摩根定律$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$，可知$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B})$。
  3. 最后，根据对立事件概率的性质$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$（这里$C = A \cap B$），求出$P(\overline{A \cap B})$的值，即$P(\overline{A} \cup \overline{B})$的值。
    • 因为$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$，且$P(A \cap B)= 0$，所以：
      $P(\overline{A \cap B}) = 1 - 0 = 1$
      即$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1$。