3.给出以下4个命题①若lim_(x to infty)f(x)=a，则lim_(n to infty)f(n)=a.②若lim_(n to infty)f(n)=a，则lim_(x to infty)f(x)=a.③若lim_(x to x_{0)}f(x)=a，且lim_(n to infty)x_(n)=x_(0)，则lim_(n to infty)f(x_(n))=a.④若lim_(x to infty)x_(n)=x_(0)，且lim_(n to infty)f(x_(n))=a，则lim_(x to x_{0)}f(x)=a.其中真命题个数为（）A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.

本题主要考查函数极限与数列极限之间的关系，解题的关键在于理解函数极限和数列极限的定义，并根据定义来判断各个命题的真假。

命题①

若$\lim_{x \to \infty}f(x)=a$，根据函数极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$X$，当$\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x) - a\vert<\varepsilon$。
因为$n$是正整数，当$n > X$时，$n$满足$\vert n\vert>X$，所以此时也有$\vert f(n) - a\vert<\varepsilon$，这就说明$\lim_{n \to \infty}f(n)=a$，故命题①为真命题。

命题②

若$\lim_{n \to \infty}f(n)=a$，只能说明当$n$取正整数且趋于无穷大时，$f(n)$趋近于$a$。
但函数极限$\lim_{x \to \infty}f(x)=a$要求$x$是连续变化的实数趋于无穷大时$f(x)$趋近于$a$。
例如函数$f(x)=\begin{cases}1, & x\in N^+ \\ 0, & x\notin N^+ \end{cases}$，此时$\lim_{n \to \infty}f(n)=1$，但当$x$取非正整数趋于无穷大时，$f(x)=0$，所以$\lim_{x \to \infty}f(x)$不存在，故命题②为假命题。

命题③

若$\lim_{x \to x_{0}}f(x)=a$，根据函数极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta$，当$0<\vert x - x_{0}\vert<\delta$时，有$\vert f(x) - a\vert<\varepsilon$。
又因为$\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，对于上述的$\delta$，存在正整数$N$，当$n > N$时，有$\vert x_{n} - x_{0}\vert<\delta$。
那么当$n > N$时，$0<\vert x_{n} - x_{0}\vert<\delta$成立，所以$\vert f(x_{n}) - a\vert<\varepsilon$，即$\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=a$，故命题③为真命题。

命题④

若$\lim_{n \to \infty}x_{n}=x_{0}$，且$\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=a$，只能说明数列$\{x_n\}$对应的函数值数列$\{f(x_n)\}$趋于$a$。
但不能保证对于任意趋于$x_0$的实数序列$\{y_n\}$，都有$\lim_{n \to \infty}f(y_{n})=a$。
例如函数$f(x)=\begin{cases}1, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，取$x_n=\frac{1}{n}$，则$\lim_{n \to \infty}x_{n}=0$，$\lim_{n \to \infty}f(x_{n})=1$，但$\lim_{x \to 0}f(x)$不存在，故命题④为假命题。

综上，真命题有①和③，共$2$个。