题目
26. (2.0分) int_(0)^1(2x+x^3)dx=() A -1 B (5)/(4) C 1 D 0
26. (2.0分)
$\int_{0}^{1}(2x+x^{3})dx=()$
A -1
B $\frac{5}{4}$
C 1
D 0
题目解答
答案
计算定积分 $\int_{0}^{1}(2x + x^3) \, dx$：
1. 求原函数：
$\int 2x \, dx = x^2$，
$\int x^3 \, dx = \frac{1}{4}x^4$。
2. 代入上下限：
$\left[ x^2 + \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{1} = \left( 1 + \frac{1}{4} \right) - (0) = \frac{5}{4}$。
或分部计算：
$\int_{0}^{1} 2x \, dx = 1$，
$\int_{0}^{1} x^3 \, dx = \frac{1}{4}$，
相加得 $\frac{5}{4}$。
答案：$\boxed{B}$。
解析
本题考查定积分的计算，解题思路是先求出被积函数的原函数，再利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分的值。牛顿 - 莱布尼茨公式为：若函数$F(x)$是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，即$F^\prime(x)=f(x)$，那么$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$。
下面我们来详细计算$\int_{0}^{1}(2x + x^3)dx$：
- 求原函数：
- 根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$的逆运算，对于$\int 2x dx$，因为$(x^2)^\prime = 2x$，所以$\int 2x dx = x^2$。
- 同理，对于$\int x^3 dx$，由于$(\frac{1}{4}x^4)^\prime = \frac{1}{4}\times4x^3 = x^3$，所以$\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4$。
- 那么被积函数$2x + x^3$的原函数$F(x)=x^2+\frac{1}{4}x^4$。
- 利用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分的值：
- 由牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{0}^{1}(2x + x^3)dx = F(1) - F(0)$。
- 把$x = 1$代入$F(x)$得$F(1)=1^2+\frac{1}{4}\times1^4=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。
- 把$x = 0$代入$F(x)$得$F(0)=0^2+\frac{1}{4}\times0^4 = 0$。
- 所以$\int_{0}^{1}(2x + x^3)dx = \frac{5}{4}-0=\frac{5}{4}$。
也可以分部计算：
- 计算$\int_{0}^{1} 2x dx$：
- 原函数为$x^2$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_0^1=1^2 - 0^2 = 1$。
- 计算$\int_{0}^{1} x^3 dx$：
- 原函数为$\frac{1}{4}x^4$，根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{0}^{1} x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_0^1=\frac{1}{4}\times1^4 - \frac{1}{4}\times0^4=\frac{1}{4}$。
- 相加得$\int_{0}^{1}(2x + x^3)dx=\int_{0}^{1} 2x dx+\int_{0}^{1} x^3 dx=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$。