[题目]计算不定积分 int ln (1+sqrt (dfrac {1+x)(x)})dx(xgt 0).

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及变量替换法和分部积分法的综合应用，以及部分分式分解的技巧。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过令 $\sqrt{\dfrac{1+x}{x}} = t$，将原积分转化为关于 $t$ 的积分，简化被积函数。
2. 分部积分：对 $\ln(1+t)$ 进行分部积分，降低积分复杂度。
3. 部分分式分解：将分母为多项式乘积的分式拆分为简单分式，便于逐项积分。
4. 回代变量：将积分结果中的变量 $t$ 替换回原变量 $x$，并化简最终表达式。

破题关键点：

• 选择恰当的替换变量，使得被积函数结构简化。
• 灵活应用分部积分法，合理选择 $u$ 和 $dv$。
• 正确处理部分分式分解，确保系数计算无误。

变量替换与分部积分

1. 变量替换：
   令 $\sqrt{\dfrac{1+x}{x}} = t$，则 $t^2 = \dfrac{1+x}{x}$，解得 $x = \dfrac{1}{t^2 - 1}$。
   对 $x$ 求导得 $dx = \dfrac{-2t}{(t^2 - 1)^2} dt$。

2. 积分转换：
   原积分变为：
   $\int \ln(1+t) \cdot \dfrac{-2t}{(t^2 - 1)^2} dt = \int \ln(1+t) \, d\left( \dfrac{1}{t^2 - 1} \right)$

3. 分部积分：
   设 $u = \ln(1+t)$，$dv = d\left( \dfrac{1}{t^2 - 1} \right)$，则：
   $\begin{aligned} \int \ln(1+t) \, dv &= \ln(1+t) \cdot \dfrac{1}{t^2 - 1} - \int \dfrac{1}{t^2 - 1} \cdot \dfrac{1}{1+t} dt \\ &= \dfrac{\ln(1+t)}{t^2 - 1} - \int \dfrac{1}{(t^2 - 1)(t+1)} dt \end{aligned}$

部分分式分解与积分

4. 分解分式：
   将 $\dfrac{1}{(t^2 - 1)(t+1)}$ 分解为：
   $\dfrac{1}{(t-1)(t+1)^2} = \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{1}{t-1} - \dfrac{1}{t+1} - \dfrac{2}{(t+1)^2} \right)$

5. 逐项积分：
   $\begin{aligned} \int \dfrac{1}{(t^2 - 1)(t+1)} dt &= \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{t-1} - \dfrac{1}{t+1} - \dfrac{2}{(t+1)^2} \right) dt \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \ln|t-1| - \ln|t+1| + \dfrac{2}{t+1} \right) + C \end{aligned}$

回代变量并化简

6. 代入变量 $t$：
   将 $t = \sqrt{\dfrac{1+x}{x}}$ 代入积分结果，化简后得到最终表达式。