4. 义向处面6. (5.0分) (x-1)/(1)=(y)/(-4)=(z+3)/(1)与(x)/(2)=(y+2)/(-2)=(z)/(-1)的夹角为 (3pi)/(4)( )A. 对B. 错

本题考查两直线夹角的计算，解题思路是先根据直线的对称式方程得出两直线的方向向量，再利用两向量夹角公式计算两直线夹角的余弦值，最后根据余弦值求出夹角并判断对错。

步骤一：确定两直线的方向向量

对于直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$，其方向向量为$\vec{s}=(m,n,p)$。
已知直线$L_1:\frac{x - 1}{1}=\frac{y}{-4}=\frac{z + 3}{1}$，则其方向向量$\vec{s_1}=(1,-4,1)$；
直线$L_2:\frac{x}{2}=\frac{y + 2}{-2}=\frac{z}{-1}$，则其方向向量$\vec{s_2}=(2,-2,-1)$。

步骤二：计算两向量夹角的余弦值

设两向量$\vec{s_1}$与$\vec{s_2}$的夹角为$\theta$（$0\leqslant\theta\leqslant\pi$），根据两向量夹角公式$\cos\theta=\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{\vert\vec{s_1}\vert\vert\vec{s_2}\vert}$。

• 计算$\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}$：
  根据向量点积的坐标运算公式$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$，可得：
  $\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=1\times2+(-4)\times(-2)+1\times(-1)=2 + 8 - 1 = 9$
• 计算$\vert\vec{s_1}\vert$：
  根据向量模长的坐标运算公式$\vec{a}=(x,y,z)$，则$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$，可得：
  $\vert\vec{s_1}\vert=\sqrt{1^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{1 + 16 + 1}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
• 计算$\vert\vec{s_2}\vert$：
  $\vert\vec{s_2}\vert=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{4 + 4 + 1}=\sqrt{9}=3$
• 计算$\cos\theta$：
  将上述结果代入夹角公式可得：
  $\cos\theta=\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{\vert\vec{s_1}\vert\vert\vec{s_2}\vert}=\frac{9}{3\sqrt{2}\times3}=\frac{9}{9\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

步骤三：求出两直线的夹角

因为两直线夹角$\alpha$（$0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{2}$）与两直线方向向量夹角$\theta$相等或互补，且$\cos\alpha=\vert\cos\theta\vert$，已知$\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\cos\alpha=\vert\frac{\sqrt{2}}{2}\vert=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
又因为$0\leqslant\alpha\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$\alpha=\frac{\pi}{4}\neq\frac{3\pi}{4}$。