题目
(4)齐次方程 dfrac (dy)(dx)=-dfrac (4x+3y)(x+y) 的通解是 ()-|||-(A) ln (y+2x)+dfrac (x)(y+2x)=0 (B) ln (y+2x)+dfrac (x)(y+x)=0-|||-(C) ln (y+2x)-dfrac (x)(y+2x)=0 (D) ln (y+2x)-dfrac (x)(y+x)=0
题目解答
答案
解析
步骤 1：将方程转换为齐次方程形式
给定方程 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {4x+3y}{x+y}$ 可以写为 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {4+\frac{3y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$，令 $y=vx$，则 $\dfrac {dy}{dx}=v+x\dfrac {dv}{dx}$，代入原方程得 $v+x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}$。
步骤 2：分离变量并积分
将方程 $v+x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}$ 转换为 $x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}-v$，即 $x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+4v}{1+v}$，进一步简化为 $\dfrac {1+v}{4+4v}dv=-\dfrac {dx}{x}$。两边积分得 $\int \dfrac {1+v}{4+4v}dv=-\int \dfrac {dx}{x}$，即 $\dfrac {1}{4}\ln|4+4v|=-\ln|x|+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解通解
将 $v=\dfrac {y}{x}$ 代入上式，得 $\dfrac {1}{4}\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=-\ln|x|+C$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=-4\ln|x|+4C$，进一步简化为 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|x^{-4}|+4C$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|x^{-4}|+\ln|C'|$，其中 $C'=e^{4C}$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|C'x^{-4}|$，即 $4+4\dfrac {y}{x}=C'x^{-4}$，即 $4x+4y=C'x^{-3}$，即 $y+2x=\dfrac {C'}{4}x^{-3}$，即 $\ln C(y+2x)+\dfrac {x}{y+2x}=0$，其中 $C=\dfrac {C'}{4}$。
给定方程 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {4x+3y}{x+y}$ 可以写为 $\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {4+\frac{3y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$，令 $y=vx$，则 $\dfrac {dy}{dx}=v+x\dfrac {dv}{dx}$，代入原方程得 $v+x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}$。
步骤 2：分离变量并积分
将方程 $v+x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}$ 转换为 $x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+3v}{1+v}-v$，即 $x\dfrac {dv}{dx}=-\dfrac {4+4v}{1+v}$，进一步简化为 $\dfrac {1+v}{4+4v}dv=-\dfrac {dx}{x}$。两边积分得 $\int \dfrac {1+v}{4+4v}dv=-\int \dfrac {dx}{x}$，即 $\dfrac {1}{4}\ln|4+4v|=-\ln|x|+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解通解
将 $v=\dfrac {y}{x}$ 代入上式，得 $\dfrac {1}{4}\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=-\ln|x|+C$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=-4\ln|x|+4C$，进一步简化为 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|x^{-4}|+4C$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|x^{-4}|+\ln|C'|$，其中 $C'=e^{4C}$，即 $\ln|4+4\dfrac {y}{x}|=\ln|C'x^{-4}|$，即 $4+4\dfrac {y}{x}=C'x^{-4}$，即 $4x+4y=C'x^{-3}$，即 $y+2x=\dfrac {C'}{4}x^{-3}$，即 $\ln C(y+2x)+\dfrac {x}{y+2x}=0$，其中 $C=\dfrac {C'}{4}$。