题目
求指数函数 x(t) = Ae^-at (a > 0, t geq 0) 的频谱。
求指数函数 $x(t) = Ae^{-at}$ ($a > 0, t \geq 0$) 的频谱。
题目解答
答案
指数函数 $ x(t) = Ae^{-at} $（其中 $ a > 0 $，$ t \geq 0 $）的傅里叶变换为：
$X(\omega) = \int_{0}^{\infty} Ae^{-at} e^{-i\omega t} \, dt = A \int_{0}^{\infty} e^{-(a + i\omega)t} \, dt$
计算积分得：
$X(\omega) = A \left[ -\frac{1}{a + i\omega} e^{-(a + i\omega)t} \right]_{0}^{\infty} = \frac{A}{a + i\omega}$
或者等价表示为：
$X(\omega) = \frac{Aa}{a^2 + \omega^2} - i \frac{A\omega}{a^2 + \omega^2}$
答案：
$\boxed{\frac{A}{a + i\omega}}$
解析
本题考查指数函数的傅里叶变换，解题思路是根据傅里叶变换的定义式，将给定的指数函数代入进行积分运算，最后化简得到频谱表达式。
- 根据傅里叶变换定义式列出积分：
对于连续时间信号 $x(t)$，其傅里叶变换 $X(\omega)$ 的定义为 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt$。
已知 $x(t) = Ae^{-at}$（$a > 0, t \geq 0$），当 $t<0$ 时，$x(t)=0$，所以积分下限从 $-\infty$ 变为 $0$，则 $X(\omega) = \int_{0}^{\infty} Ae^{-at} e^{-i\omega t} \, dt$。 - 合并指数项：
根据指数运算法则 $e^m\cdot e^n = e^{m + n}$，可得 $Ae^{-at} e^{-i\omega t}=Ae^{-(a + i\omega)t}$，所以 $X(\omega) = A \int_{0}^{\infty} e^{-(a + i\omega)t} \, dt$。 - 计算积分：
根据积分公式 $\int e^{kt}dt=\frac{1}{k}e^{kt}+C$（$k\neq0$），对 $A \int_{0}^{\infty} e^{-(a + i\omega)t} \, dt$ 进行计算。
令 $k=-(a + i\omega)$，则 $A \int_{0}^{\infty} e^{-(a + i\omega)t} \, dt=A \left[ -\frac{1}{a + i\omega} e^{-(a + i\omega)t} \right]_{0}^{\infty}$。 - 代入积分上下限求值：
当 $t\to\infty$ 时，因为 $a>0$，$\lim\limits_{t\to\infty}e^{-(a + i\omega)t}=\lim\limits_{t\to\infty}e^{-at}e^{-i\omega t}=0$；当 $t = 0$ 时，$e^{-(a + i\omega)\times0}=1$。
所以 $A \left[ -\frac{1}{a + i\omega} e^{-(a + i\omega)t} \right]_{0}^{\infty}=A\left(0+\frac{1}{a + i\omega}\right)=\frac{A}{a + i\omega}$。 - 等价表示（可选）：
为了将结果化为实部和虚部的形式，对 $\frac{A}{a + i\omega}$ 进行分母有理化，分子分母同时乘以 $a - i\omega$，得到：
$\begin{align*}\frac{A}{a + i\omega}&=\frac{A(a - i\omega)}{(a + i\omega)(a - i\omega)}\\&=\frac{Aa - iA\omega}{a^2-(i\omega)^2}\\&=\frac{Aa - iA\omega}{a^2 + \omega^2}\\&=\frac{Aa}{a^2 + \omega^2} - i \frac{A\omega}{a^2 + \omega^2}\end{align*}$