43.若每条蚕的产卵数服从泊松分布,参数为λ,而每个卵变-|||-为成虫的概率为p,且各卵是否变为成虫彼此独立,求每蚕养活k-|||-只小蚕的概率.

考查要点：本题主要考查泊松分布与二项分布的复合分布，以及如何通过条件概率将两者结合，推导出最终的分布形式。

解题核心思路：

1. 分步考虑：首先，蚕产卵的数量服从泊松分布；其次，每个卵独立成活的概率为$p$，成活数服从二项分布。
2. 全概率公式：对所有可能的产卵数$n$，计算在$n$个卵中恰好成活$k$只的概率，再对$n$求和。
3. 化简求和：通过生成函数或指数级数的性质，将求和表达式化简为标准的泊松分布形式。

破题关键点：

• 识别复合分布结构：产卵数$N \sim \text{Poisson}(\lambda)$，成活数$K|N \sim \text{Binomial}(N, p)$。
• 利用泊松分布的可加性：最终成活数$K$的无条件分布仍为泊松分布，参数为$\lambda p$。

步骤1：定义随机变量

• 设$N$为蚕产卵的数量，$N \sim \text{Poisson}(\lambda)$，其概率为：
  $P(N = n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda}.$
• 在产卵数为$n$的条件下，成活数$K$服从二项分布：
  $P(K = k \mid N = n) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.$

步骤2：应用全概率公式
所求概率为：
$\begin{aligned}P(K = k) &= \sum_{n=k}^{\infty} P(N = n) \cdot P(K = k \mid N = n) \\&= \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} \cdot \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}.\end{aligned}$

步骤3：化简求和表达式

1. 将组合数$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$代入：
   $P(K = k) = \frac{e^{-\lambda} p^k}{k!} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{\lambda^n}{(n-k)!} (1-p)^{n-k}.$
2. 令$m = n - k$，则$n = m + k$，求和变量变为$m \geq 0$：
   $P(K = k) = \frac{e^{-\lambda} p^k}{k!} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\lambda^{m+k}}{m!} (1-p)^m.$
3. 提取公因子$\lambda^k$，并利用指数级数求和公式$\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(\lambda (1-p))^m}{m!} = e^{\lambda (1-p)}$：
   $P(K = k) = \frac{e^{-\lambda} p^k \lambda^k}{k!} \cdot e^{\lambda (1-p)} = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda p}.$

结论：
成活数$K$服从参数为$\lambda p$的泊松分布，即：
$P(K = k) = \frac{(\lambda p)^k}{k!} e^{-\lambda p}.$