【简答题】设一袋中有4个白球,3个黑球,求(1)从中不放回任取4个球,恰好取到3个白球的概率;(2)从中有放回地抽取4个球,求恰好取到 3 个白球的概率

考查要点：本题主要考查超几何分布和二项分布的应用场景及计算方法，重点区分不放回抽样与有放回抽样的概率模型选择。

解题核心思路：

1. 第（1）问：不放回抽取属于无放回抽样，总体数量有限，此时适用超几何分布，需计算组合数比值。
2. 第（2）问：有放回抽取属于独立重复试验，每次试验结果相互独立，此时适用二项分布，需计算二项概率公式。

破题关键点：

• 明确抽样方式（放回与否）决定概率模型。
• 正确代入参数到对应公式中。

第（1）题

超几何分布模型
袋中共有 $N=7$ 个球（$K=4$ 个白球，$N-K=3$ 个黑球），不放回抽取 $n=4$ 个球，求恰好取到 $k=3$ 个白球的概率。

公式代入

超几何分布概率公式为：
$P(X=k) = \frac{C(K, k) \cdot C(N-K, n-k)}{C(N, n)}$
代入数值：
$P(X=3) = \frac{C(4,3) \cdot C(3,1)}{C(7,4)}$

计算组合数

• $C(4,3) = 4$
• $C(3,1) = 3$
• $C(7,4) = 35$

最终结果

$P(X=3) = \frac{4 \times 3}{35} = \frac{12}{35}$

第（2）题

二项分布模型
每次抽取有放回，白球概率 $p=\frac{4}{7}$，抽取 $n=4$ 次，求恰好取到 $k=3$ 次白球的概率。

公式代入

二项分布概率公式为：
$P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
代入数值：
$P(X=3) = C(4,3) \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^1$

计算组合数与幂次

• $C(4,3) = 4$
• $\left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{64}{343}$
• $\left(\frac{3}{7}\right)^1 = \frac{3}{7}$

最终结果

$P(X=3) = 4 \cdot \frac{64}{343} \cdot \frac{3}{7} = \frac{768}{2401}$