有两箱同种类的零件。第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求 (1)第一次取到的零件是一等品的概率。 (2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和条件概率的应用，涉及不放回抽样的概率计算。

解题思路：

1. 第一问：通过全概率公式，分别计算从第一箱和第二箱中第一次取到一等品的概率，再结合选箱的概率求和。
2. 第二问：先用全概率公式计算两次均取到一等品的联合概率，再利用条件概率公式求解。

关键点：

• 全概率公式：将复杂事件分解为互斥子事件的组合。
• 不放回抽样：第二次取样时，总数和一等品数需根据第一次结果调整。

第（1）题

步骤1：定义事件
设事件 $A$ 表示“选中第一箱”，$\overline{A}$ 表示“选中第二箱”，$B_1$ 表示“第一次取到一等品”。

步骤2：计算选箱概率
$P(A) = P(\overline{A}) = \frac{1}{2}$

步骤3：计算条件概率

• 从第一箱取到一等品的概率：
  $P(B_1|A) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
• 从第二箱取到一等品的概率：
  $P(B_1|\overline{A}) = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

步骤4：应用全概率公式
$P(B_1) = P(B_1|A)P(A) + P(B_1|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{5}$

第（2）题

步骤1：定义联合事件
设 $B_2$ 表示“第二次取到一等品”，需计算 $P(B_2|B_1)$。

步骤2：计算两次取到一等品的联合概率

• 从第一箱取两次：
  $P(B_1B_2|A) = \frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} = \frac{9}{245}$
• 从第二箱取两次：
  $P(B_1B_2|\overline{A}) = \frac{18}{30} \cdot \frac{17}{29} = \frac{51}{145}$

步骤3：应用全概率公式
$P(B_1B_2) = P(B_1B_2|A)P(A) + P(B_1B_2|\overline{A})P(\overline{A}) = \frac{9}{245} \cdot \frac{1}{2} + \frac{51}{145} \cdot \frac{1}{2} = \frac{276}{1421}$

步骤4：计算条件概率
$P(B_2|B_1) = \frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)} = \frac{\frac{276}{1421}}{\frac{2}{5}} = \frac{690}{1421}$