20. int cos ln xdx.

本题考查不定积分的计算，解题思路是先通过换元法将原积分转化为关于新变量的积分，再利用分部积分法求解该积分，最后将新变量代回原变量得到最终结果。

1. 换元：
   • 令$u = \ln x$，根据对数函数与指数函数的关系，可得$x = e^u$。
   • 对$x = e^u$两边求微分，根据求导公式$(e^u)^\prime=e^u$，可得$dx = e^u \, du$。
   • 将$u = \ln x$，$x = e^u$，$dx = e^u \, du$代入原积分$\int \cos \ln xdx$，原积分变为$\int e^u \cos u \, du$。
2. 第一次分部积分：
   • 设$v = e^u$，$dw = \cos u \, du$。
   • 对$v = e^u$求微分，根据求导公式$(e^u)^\prime=e^u$，可得$dv = e^u \, du$。
   • 对$dw = \cos u \, du$积分，根据积分公式$\int\cos udu=\sin u + C$，可得$w = \sin u$。
   • 根据分部积分公式$\int vdw=vw-\int wdv$，可得$\int e^u \cos u \, du = e^u \sin u - \int e^u \sin u \, du$。
3. 第二次分部积分：
   • 设$v = e^u$，$dw = \sin u \, du$。
   • 对$v = e^u$求微分，可得$dv = e^u \, du$。
   • 对$dw = \sin u \, du$积分，根据积分公式$\int\sin udu=-\cos u + C$，可得$w = -\cos u$。
   • 根据分部积分公式$\int vdw=vw-\int wdv$，可得$\int e^u \sin u \, du = -e^u \cos u + \int e^u \cos u \, du$。
4. 求解$\int e^u \cos u \, du$：
   • 将$\int e^u \sin u \, du = -e^u \cos u + \int e^u \cos u \, du$代入$\int e^u \cos u \, du = e^u \sin u - \int e^u \sin u \, du$中，得到$\int e^u \cos u \, du = e^u \sin u + e^u \cos u - \int e^u \cos u \, du$。
   • 移项可得$2\int e^u \cos u \, du = e^u \sin u + e^u \cos u$。
   • 两边同时除以$2$，解得$\int e^u \cos u \, du = \frac{e^u (\sin u + \cos u)}{2} + C$。
5. 回代：
   • 将$u = \ln x$代回$\int e^u \cos u \, du = \frac{e^u (\sin u + \cos u)}{2} + C$中，因为$e^{\ln x}=x$，所以可得$\int \cos \ln xdx=\frac{x}{2} (\sin \ln x + \cos \ln x) + C$。