题目

设A. B 为 n 阶对称阵且 B 可逆 , 则下列矩阵中为对称阵的是 () A. AB−1−B−1A B. AB−1+B−1A C. B−1AB D. (AB)2

设A. B 为 n 阶对称阵且 B 可逆 , 则下列矩阵中为对称阵的是 ()


A. AB−1−B−1A
B. AB−1+B−1A
C. B−1AB
D. (AB)2

题目解答

答案

A选项：（AB -1-B -1A）'=（AB -1）'-（B -1A）'=B -1'A-A'B -1'=B -1A-AB -1≠AB -1-B -1A∴A选项错误．
B选项：（AB -1+B -1A）'=（AB -1）'+（B -1A）'=B -1'A+A'B -1'=B -1A+AB -1=AB -1+B -1A∴B选项正确．
C选项：（B -1AB）'=B'A'B -1'=BAB -1≠B -1AB∴C选项错误．
D选项：（（AB） 2）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA） 2≠（AB） 2 ∴D选项错误．
故答案选：B

解析

考查要点：本题主要考查对称矩阵的性质及矩阵运算中的转置规律。
解题核心思路：

  1. 对称矩阵的定义：若矩阵$M$满足$M = M'$，则$M$是对称矩阵。
  2. 关键性质：
    • 若$A$是对称矩阵，则$A' = A$；
    • 若$B$可逆且对称，则$B^{-1}$也是对称矩阵；
    • 转置运算与矩阵加法、乘法、数乘运算的分配关系。
  3. 破题关键：对每个选项计算其转置，判断是否等于原矩阵。

选项分析

选项A：$AB^{-1} - B^{-1}A$

  1. 计算转置：
    $(AB^{-1} - B^{-1}A)' = (AB^{-1})' - (B^{-1}A)' = B^{-1}A - AB^{-1}$
  2. 比较原矩阵：
    原矩阵为$AB^{-1} - B^{-1}A$，转置结果为$B^{-1}A - AB^{-1}$，两者不相等，故不是对称阵。

选项B：$AB^{-1} + B^{-1}A$

  1. 计算转置：
    $(AB^{-1} + B^{-1}A)' = (AB^{-1})' + (B^{-1}A)' = B^{-1}A + AB^{-1}$
  2. 比较原矩阵：
    转置结果与原矩阵相等，故是对称阵。

选项C：$B^{-1}AB$

  1. 计算转置：
    $(B^{-1}AB)' = B'A'B^{-1}' = BAB^{-1}$
  2. 比较原矩阵：
    原矩阵为$B^{-1}AB$，转置结果为$BAB^{-1}$，两者一般不相等，故不是对称阵。

选项D：$(AB)^2$

  1. 计算转置：
    $(AB)^2' = (ABAB)' = B'A'B'A' = BABA$
  2. 比较原矩阵：
    原矩阵为$ABAB$，转置结果为$BABA$，除非$AB = BA$，否则不相等，故不是对称阵。