1.10 解方程: ^3+1=0.

考查要点：本题主要考查复数方程的解法，特别是三次方程的求解。需要掌握复数的因式分解和复数根的求解方法。

解题核心思路：将方程转化为求-1的三次方根，通过因式分解或复数三角形式求解。关键在于分解多项式或利用复数的极坐标形式展开。

破题关键点：

1. 因式分解：将方程 $z^3 + 1 = 0$ 分解为 $(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$，从而得到实根和复数根。
2. 复数根公式：利用复数的三角形式，通过棣莫弗定理计算三次根的角度。

步骤1：方程变形

原方程 $z^3 + 1 = 0$ 可变形为：
$z^3 = -1$

步骤2：因式分解

利用立方和公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$，将方程分解：
$z^3 + 1 = (z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$

步骤3：求解实根

直接解 $z + 1 = 0$，得：
$z = -1$

步骤4：解二次方程

解 $z^2 - z + 1 = 0$，判别式：
$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$
根据求根公式：
$z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

步骤5：总结所有根

方程的三个根为：
$z = -1, \quad z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad z = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$