1.用洛必达法则求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x))(x)-|||-(4) lim _(xarrow pi )dfrac (sin 3x)(tan 5x) =-|||-(7) lim _(xarrow 0)dfrac (ln tan 7x)(ln tan 2x) ;-|||-(10) lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+{x)^2)}(sec x-cos x) ;-|||-(13) lim _(xarrow 1)(dfrac (2)({x)^2-1}-dfrac (1)(x-1)) ;-|||-(16) lim _(xarrow {0)^+}((dfrac {1)(x))}^tan x --|||-(2) lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^x-(e)^-x}(sin x) ;-|||-(5) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (ln sin x)({(pi -2x))^2} :-|||-(8) lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (tan x)(tan 3x) ;-|||-(11) lim _(xarrow 0)xcot 2x ;-|||-(14) lim _(xarrow infty )((1+dfrac {a)(x))}^x-|||-(3) lim _(xarrow a)dfrac (sin x-sin a)(x-a) ;-|||-(6) lim _(xarrow a)dfrac ({x)^m-(a)^m}({x)^n-(a)^n} ;-|||-(9) lim _(xarrow +infty )dfrac (ln (1+dfrac {1)(x))}(arctan x) ;-|||-(12) lim _(xarrow 0)(x)^2(e)^dfrac (1{{x)^2}} ;-|||-(15) lim _(xarrow {0)^+}(x)^sin x ;
题目解答
答案
解析
知识考察
本题主要考察利用洛必达法则求极限，涵盖多种极限类型：$\frac{0}{0}$型、$\frac{\infty}{\infty}$型、$0\cdot\infty$型、$\infty-\infty$型、$1^\infty$型等，同时涉及等价无穷小替换、导数公式（如三角函数、指数函数、对数函数导数）及代数化简等辅助技巧。
详细解题思路
(1) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+x)}{x}$
类型：$\frac{0}{0}$型，直接用洛必达法则。
分子导数：$\frac{d}{dx}[\ln(1+x)]=\frac{1}{1+x}$
分母导数：$\frac{d}{dx}[x]=1$
极限：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{1+x}=1$
(2) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{\sin x}$
类型：$\frac{0}{0}$型，洛必达法则。
分子导数：$e^x+e^{-x}$（导数公式：$(e^x)'=e^x$，$(e^{-x})'=-e^{-x}$）
分母导数：$\cos x$
极限：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=\frac{1+1}{1}=2$
(3) $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {\sin x-\sin a}{x-a}$
类型：$\frac{0}{0}$型，洛必达法则或和差化积。
分子导数：$\cos x$，分母导数：$1$
极限：$\lim_{x\rightarrow a}\cos x=\cos a$
(4) $\lim _{x\rightarrow \pi }\dfrac {\sin 3x}{\tan 5x}$
类型：$\frac{0}{0}$型（$x\rightarrow\pi$时，$\sin3x\rightarrow0$，$\tan5x\rightarrow0$）。
分子导数：$3\cos3x$，分母导数：$5\sec^25x$（$\tan u$导数：$\sec^2u$）
极限：$\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{3\cos3x}{5\sec^25x}=\frac{3\cos3\pi}{5\sec^25\pi}=\frac{3(-1)}{5(1)}=-\frac{3}{5}$
(5) $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\ln \sin x}{{(\pi -2x)}^{2}}$
类型：$\frac{0}{0}$型（$x\rightarrow\frac{\pi}{2}$时，$\sin x\rightarrow1$，$\ln\sin x\rightarrow0$；$(\pi-2x)^2\rightarrow0$）。
步骤：
- 换元：令$t=\pi-2x$，则$x=\frac{\pi-t}{2}$，$t\rightarrow0$，$\sin x=\cos\frac{t}{2}$
- 原式变为：$\lim_{t\rightarrow0}\frac{\ln\cos\frac{t}{2}}{t^2}$
- 洛必达法则：分子导数$\frac{1}{\cos\frac{t}{2}}\cdot(-\sin\frac{t}{2})\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\tan\frac{t}{2}$，分母导数$2t$
- 等价无穷小：$t\rightarrow0$时，$\tan\frac{t}{2}\sim\frac{t}{2}$，故极限为$\lim_{t\rightarrow0}\frac{-\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{2}}{2t}=-\frac{1}{8}$
(6) $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{m}-{a}^{m}}{{x}^{n}-{a}^{n}}$
类型：$\frac{0}{0}$型，洛必达法则。
分子导数：$mx^{m-1}$，分母导数：$nx^{n-1}$
极限：$\lim_{x\rightarrow a}\frac{mx^{m-1}}{nx^{n-1}}=\frac{m}{n}a^{m-n}$
(7) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln \tan 7x}{\ln \tan 2x}$
类型：$\frac{\infty}{\infty}$型（$x\rightarrow0^+$时，$\tan7x\sim7x$，$\ln\tan7x\rightarrow-\infty$）。
洛必达法则：
分子导数：$\frac{1}{\tan7x}\cdot\sec^27x\cdot7=\frac{7}{\sin7x\cos7x}=\frac{14}{\sin14x}$
分母导数：$\frac{14}{\sin4x}$
极限：$\lim_{x\rightarrow0}\frac{14/\sin14x}{14/\sin4x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin4x}{\sin14x}=\frac{4}{14}=1$（等价无穷小：$\sin kx\sim kx$）
(8) $\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {\tan x}{\tan 3x}$
类型：$\frac{\infty}{\infty}$型（$x\rightarrow\frac{\pi}{2}^-$时，$\tan x\rightarrow+\infty$，$\tan3x=\tan(3(\frac{\pi}{2}-t))=-\cot3t\rightarrow-\infty$）。
步骤：
- $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，$\tan3x=\frac{\sin3x}{\cos3x}$，原式$=\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x\cos3x}{\cos x\sin3x}$
- 洛必达法则：分子导数$\cos x\cos3x-3\sin x\sin3x$，分母导数$-\sin x\sin3x+3\cos x\cos3x$
- 代入$x=\frac{\pi}{2}$：分子$=0\cdot(-1)-3\cdot1\cdot0=0$？不，直接用等价无穷小：$x=\frac{\pi}{2}-t$，$t\rightarrow0$，$\sin x=\cos t\sim1$，$\cos x=\sin t\sim t$，$\sin3x=\sin(\frac{3\pi}{2}-3t)=-\cos3t\sim-1$，$\cos3x=\cos(\frac{3\pi}{2}-3t)=-\sin3t\sim-3t$
- 原式$\sim\lim_{t\rightarrow0}\frac{1\cdot(-3t)}{t\cdot(-1)}=3$
(9) $\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\ln (1+\dfrac {1}{x})}{\arctan x}$
类型：$\frac{0}{\frac{\pi}{2}}$型（$x\rightarrow+\infty$时，$\ln(1+\frac{1}{x})\sim\frac{1}{x}$，$\arctan x\rightarrow\frac{\pi}{2}$）。
洛必达法则：
分子导数：$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot(-\frac{1}{x^2})=-\frac{1}{x(x+1)}$
分母导数：$\frac{1}{1+x^2}$
极限：$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-\frac{1}{x(x+1)}}{\frac{1}{1+x^2}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1+x^2}{-x(x+1)}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{-x(1+\frac{1}{x})}\cdot(1+\frac{1}{x^2})=0$？答案错误？ 原答案为$1$，可能题目应为$\arctan\frac{1}{x}$？若为$\arctan\frac{1}{x}\sim\frac{1}{x}$，则极限为$1$。
(10) $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+{x}^{2})}{\sec x-\cos x}$
类型：$\frac{0}{0}$型（$\sec x-\cos x=\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{\sin^2x}{\cos x}\sim x^2$）。
步骤：
- 化简分母：$\sec x-\cos x=\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{\sin^2x}{\cos x}$
- 原式$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x^2)\cos x}{\sin^2x}\sim\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^2}{x^2}=1$（$\ln(1+x^2)\sim x^2$）
(11) $\lim _{x\rightarrow 0}x\cot 2x$
类型：$0\cdot\infty$型，转化为$\frac{0}{0}$型：$x\cot2x=\frac{x}{\tan2x}$。
等价无穷小：$\tan2x\sim2x$，故极限$=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$
(12) $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$
类型：$0\cdot\infty$型，换元$t=\frac{1}{x^2}$，$t\rightarrow+\infty$，原式$=\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{e^t}{t}\rightarrow+\infty$（指数增长比多项式快）
(13) $\lim _{x\rightarrow 1}(\dfrac {2}{{x}^{2}-1}-\dfrac {1}{x-1})$
类型：$\infty-\infty$型，通分：
$\frac{2}{(x-1)(x+1)}-\frac{1}{x-1}=\frac{2-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{1-x}{(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{x+1}$
极限：$\lim_{x\rightarrow1}-\frac{1}{x+1}=-\frac{1}{2}$
(14) $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {a}{x})}^{x}$
类型：$1^\infty$型，公式：$\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{k}{x})^x=e^k$，故极限为$e^a$
(15) $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{x}^{\sin x}$
类型：$0^0$型，取对数：$\ln y=\sin x\ln x=x\sin x\cdot\frac{\ln x}{x}\rightarrow0$（$x\sin x\rightarrow0$，$\frac{\ln x}{x}\rightarrow0$），故$y=e^0=1$
(16) $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(\dfrac {1}{x})}^{\tan x}$
类型：$\infty^0$型，取对数：$\ln y=\tan x\ln\frac{1}{x}=-\tan x\ln x\sim -x\ln x\rightarrow0$（$x\ln x\rightarrow0$），故$y=e^0=1$