若当x→0时sin[ln(1+x)]-sin[ln(1-x)]与xn是同阶无穷小，则n为（）A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查无穷小阶的比较，涉及泰勒展开和三角恒等式的应用。

解题思路：

1. 利用三角恒等式将差化积，简化表达式；
2. 展开对数函数 $\ln(1+x)$ 和 $\ln(1-x)$ 的泰勒多项式；
3. 展开三角函数 $\cos$ 和 $\sin$ 的泰勒多项式，找到主部；
4. 比较主部阶数，确定 $n$ 的值。

破题关键：通过泰勒展开找到表达式的主部，主部的阶数即为所求 $n$。

步骤1：应用三角恒等式
利用 $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，原式可化简为：
$\begin{aligned}\sin[\ln(1+x)] - \sin[\ln(1-x)] &= 2\cos\left(\frac{\ln(1+x)+\ln(1-x)}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{\ln(1+x)-\ln(1-x)}{2}\right).\end{aligned}$

步骤2：展开对数函数

• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$
• $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots$

因此：
$\begin{aligned}\ln(1+x) + \ln(1-x) &= \ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots, \\\ln(1+x) - \ln(1-x) &= 2x + \frac{2x^3}{3} + \cdots.\end{aligned}$

步骤3：展开三角函数

• 余弦部分：
  $\cos\left(\frac{\ln(1-x^2)}{2}\right) = \cos\left(-\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + \cdots\right) \approx 1 - \frac{x^4}{8} + \cdots$
• 正弦部分：
  $\sin\left(x + \frac{x^3}{3} + \cdots\right) \approx x + \frac{x^3}{6} + \cdots$

步骤4：合并主部
将两部分相乘并乘以2：
$2 \cdot \left(1 - \frac{x^4}{8}\right) \cdot \left(x + \frac{x^3}{6}\right) \approx 2x + \frac{x^3}{3} + \cdots.$
主部为 $2x$，即 一阶无穷小，故 $n=1$。