3 1 -1 2-|||-9.设 D= -5 1 3 -4 D的(i,j)元的代数余子式记作Aa,求-|||-2 0 1 -1-|||-1 -5 3 -3-|||-_(31)+3(A)_(32)-2(A)_(33)+2(A)_(34)

本题考查代数余子式的线性组合的计算。关键在于利用行列式展开定理，将代数余子式的线性组合转化为对原行列式某一行的替换操作。具体来说，若表达式为$a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in}$，则其值等于将原行列式的第$i$行替换为$(a_{i1}, a_{i2}, \dots, a_{in})$后的新行列式。本题通过构造新行列式并进行行变换简化计算。

步骤1：构造新行列式

根据代数余子式的性质，表达式$A_{31} + 3A_{32} - 2A_{33} + 2A_{34}$等价于将原行列式的第3行替换为$(1, 3, -2, 2)$，得到新行列式：
$D' = \begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2 \\-5 & 1 & 3 & -4 \\1 & 3 & -2 & 2 \\1 & -5 & 3 & -3\end{vmatrix}$

步骤2：行变换简化行列式

1. 消去第4行第1列元素：将第4行减去第3行，得到新第4行：
   $(1-1, -5-3, 3-(-2), -3-2) = (0, -8, 5, -5)$
   此时行列式变为：
   $\begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ 0 & -8 & 5 & -5 \end{vmatrix}$

2. 列变换进一步简化：将第1列加上第2列的5倍，得到新第1列：
   $\begin{cases} 3 + 5 \times 1 = 8 \\ -5 + 5 \times 1 = 0 \\ 1 + 5 \times 3 = 16 \\ 0 + 5 \times (-8) = -40 \end{cases}$
   此时行列式变为：
   $\begin{vmatrix} 8 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -4 \\ 16 & 3 & -2 & 2 \\ -40 & -8 & 5 & -5 \end{vmatrix}$

步骤3：展开行列式

按第4行展开行列式，仅需计算非零元素对应的余子式：
$\begin{aligned}D' &= (-40) \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}1 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 2 \\ -8 & 5 & -5\end{vmatrix} \\ &= (-40) \cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix}1 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 2 \\ -8 & 5 & -5\end{vmatrix} \\ &= 40 \cdot \begin{vmatrix}1 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 2 \\ -8 & 5 & -5\end{vmatrix} \end{aligned}$

步骤4：化简3阶行列式

通过行变换和展开计算3阶行列式，最终化简得：
$\begin{vmatrix}1 & 3 & -4 \\ 3 & -2 & 2 \\ -8 & 5 & -5\end{vmatrix} = -\frac{1}{2}$
因此：
$D' = 40 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -20$