【题目】设向量组 α_1=(1,0,1)^T , α_2=(0,1,1)^Tα_3=(1,3,5)^T 不能由向量组 β_1=(1,1,1)^T ， β_2=(1,2,3)^Tβ_3=(3,4,a)^T 线性表示.（1）求a的值2）将β1,β2,β3用α1,α2,a3线性表示.

题目考察知识

向量组线性表示与线性相关性、矩阵的行列式计算、逆矩阵求解及矩阵乘法应用。

（1）求$a$的值

关键思路

向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$（3个3维向量）不能由$\beta_1,\beta_2,\beta_3$线性表示，等价于$\beta_1,\betabeta_2,\beta_3$线性相关（否则$\beta$组线性无关，可表示任意3维向量，矛盾）。
线性相关的充要条件：矩阵$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$的行列式为0。

计算行列式

$\begin{vmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \beta_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 3 \\1 & 2 & 4 \\1 & 3 & a\end{vmatrix}$
（注：原解析中行列式写为$\begin{vmatrix}113\\124\\13a\end{vmatrix}$，应为行排列：第一行$1,1,3$，第二行$1,2,4$，第三行$1,3,a$）
按第一列展开或初等行变换：
$\begin{vmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&3&a\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&3\\0&1&1\\0&2&a-3\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot(a-3)-1\cdot2)=a-5$
令行列式$=0$，得$a=5$。

（2）将$\beta_1,\beta_2,\beta_3$用$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示

关键思路

设$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)A$，则$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$。
因$|\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|=\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&3\\1&1&5\end{matrix}=1\neq0$，故\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)可逆。 ### 步骤1：求$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}$
$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$为：
$\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&3\\1&1&5\end{pmatrix}$
通过初等行变换求逆（或伴随矩阵），得：
$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&-1\\3&4&-3\\-1&-1&1\end{matrix}$

步骤2：计算$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)^{-1}(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$

$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$为：
$\begin{pmatrix}1&1&3\\1&2&4\\1&3&5\end{pmatrix}$
矩阵乘法：
$A=\begin{matrix}2&1&-1\\3&4&-3\\-1&-1&1\end{matrix}\begin{matrix}1&1&3\\1&2&4\\1&3&5\end{matrix}=\begin{matrix}2\cdot1-1&22-3&64-5\\31-3&32-6&98-15\\-1-1&-1-2+3&-3-4+5\end{matrix}=\begin{matrix}2&1&5\\4&2&&10\\-1&0&-2\end{matrix}$

结论

$A$的列对应系数：

• $\beta_1=2\alpha_1+4\alpha_2-\alpha_3$
• $\beta_2=\alpha_1+2\alpha_2+0\alpha_3$
• $\beta_3=5\alpha_1+10alpha_2-2alpha_3$