题目
4、证明多项式f(x)=2x^3-6x+a在区间[-1,1]上至多有一个零点，其中a为任意常数.
4、证明多项式$f(x)=2x^{3}-6x+a$在区间[-1,1]上至多有一个零点，其中a为任意常数.
题目解答
答案
求导得 $ f'(x) = 6x^2 - 6 $。
令 $ f'(x) = 0 $，解得 $ x = \pm 1 $。
在区间 $(-1, 1)$ 内，$ f'(x) < 0 $，故 $ f(x) $ 单调递减。
由单调性知，$ f(x) $ 在 $[-1, 1]$ 内至多一个零点。
或由罗尔定理，若有两个零点，则导数在区间内有零点，但 $ f'(x) = 0 $ 的解为 $ x = \pm 1 $，不在开区间内，矛盾。
结论：
多项式 $ f(x) = 2x^3 - 6x + a $ 在区间 $[-1, 1]$ 上至多有一个零点。
$\boxed{\text{至多一个零点}}$
解析
考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性，进而判断零点个数的方法。需要掌握导数与单调性的关系，以及反证法或罗尔定理的应用。
解题核心思路：
- 求导确定函数的单调性；
- 若函数在区间内严格单调，则至多一个零点；
- 结合导数的符号和极值点位置，排除多个零点的可能性。
破题关键点：
- 导数分析：通过求导发现函数在区间$(-1,1)$内严格单调递减；
- 罗尔定理矛盾：若存在两个零点，导数在区间内必有零点，但实际导数零点仅在端点，矛盾。
步骤1：求导数
函数$f(x)=2x^3-6x+a$的导数为：
$f'(x)=6x^2-6.$
步骤2：分析导数的符号
令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。
在区间$(-1,1)$内，$x^2<1$，因此：
$f'(x)=6(x^2-1)<0.$
这表明$f(x)$在区间$[-1,1]$上严格单调递减。
步骤3：判断零点个数
若函数严格单调，则至多有一个零点。
假设存在两个零点$x_1,x_2 \in [-1,1]$且$x_1
步骤4（备选）：罗尔定理验证
若存在两个零点，则由罗尔定理，导数$f'(x)$在$(x_1,x_2)$内有零点。但$f'(x)=0$的解仅在端点$x=\pm1$，不在开区间$(-1,1)$内，矛盾。