题目
求下列初值问题的解：(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan x，(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan x.（ ）A.(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan xB.(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan xC.(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan xD.(dfrac (1+{x)^2}(2))y'=arctan x
求下列初值问题的解：
，
.（ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
已知，则
，则
，将初始条件代入可得
，则满足初始条件的特解为
，因此选择D。
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是$(\dfrac {1+{x}^{2}}{2})y'=\arctan x$。首先，我们分离变量，将方程写成$y'$关于$x$的函数形式。即$y'=\dfrac {2\arctan x}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：积分求解
接下来，我们对$y'$进行积分，以求出$y$。即$y=\int y'dx=\int \dfrac {2\arctan x}{1+{x}^{2}}dx$。注意到$\dfrac {d}{dx}(\arctan x)=\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$，因此积分可以写成$y=2\int \arctan x d(\arctan x)$。
步骤 3：计算积分
根据积分公式，$2\int \arctan x d(\arctan x)=2\cdot \dfrac {1}{2}{(\arctan x)}^{2}+C={(\arctan x)}^{2}+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 4：应用初始条件
根据题目中的初始条件0=0=x| f，代入$y={(\arctan x)}^{2}+C$，得到$0={(\arctan 0)}^{2}+C$，即$0=0+C$，从而得到$C=0$。
给定的微分方程是$(\dfrac {1+{x}^{2}}{2})y'=\arctan x$。首先，我们分离变量，将方程写成$y'$关于$x$的函数形式。即$y'=\dfrac {2\arctan x}{1+{x}^{2}}$。
步骤 2：积分求解
接下来，我们对$y'$进行积分，以求出$y$。即$y=\int y'dx=\int \dfrac {2\arctan x}{1+{x}^{2}}dx$。注意到$\dfrac {d}{dx}(\arctan x)=\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$，因此积分可以写成$y=2\int \arctan x d(\arctan x)$。
步骤 3：计算积分
根据积分公式，$2\int \arctan x d(\arctan x)=2\cdot \dfrac {1}{2}{(\arctan x)}^{2}+C={(\arctan x)}^{2}+C$，其中$C$是积分常数。
步骤 4：应用初始条件
根据题目中的初始条件0=0=x| f，代入$y={(\arctan x)}^{2}+C$，得到$0={(\arctan 0)}^{2}+C$，即$0=0+C$，从而得到$C=0$。