11.设a_(1)=x(cossqrt(x)-1),a_(2)=sqrt(xln(1+sqrt[3](x)),a_{3)=sqrt[3](x+1)-1},当x→0+时，以上三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）。A. a_(1),a_(2),a_(3);B. a_(2),a_(3),a_(1);C. a_(2),a_(1),a_(3);D. a_(3),a_(2),a_(1).

本题考查无穷小量阶的比较，解题思路是利用等价无穷小替换，分别求出$a_11$、$a_2$、$a_3$关于$x$的等价无穷小，再根据无穷小量阶的定义比较它们的阶数。

1. 求$a_1$的等价无穷小

当$x\to0$时，$\cos x - 1\sim-\frac{1}{2}x^2$。
对于$a_1 = x(\cos\sqrt{x} - 1)$，当$x\to0^+$时，令$t = \sqrt{x}$，则$t\to0$，此时$\cos\sqrt{x} - 1\sim-\frac{1}{2}(\sqrt{x})^2=-\frac{1}{2}x$。
所以$a_1 = x(\cos\sqrt{x} - 1)\sim x\cdot(-\frac{1}{2}x)=-\frac{1}{2}x^2$，即$a_1$是$x$的二阶无穷小。

2. 求$a_2$的等价无穷小

当$x\to0^+$时，$\ln(1 + u)\sim u$。
对于$a_2 = \sqrt{x\ln(1 + \sqrt[3]{x})}$，令$u = \sqrt[3]{x}$，则当$x\to0^+$时，$u\to0$，此时$\ln(1 + \sqrt[3]{x})\sim\sqrt[3]{x}$。
所以$a_2 = \sqrt{x\ln(1 + \sqrt[3]{x})}\sim\sqrt{x\cdot\sqrt[3]{x}}=\sqrt{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}}=x^{\frac{2}{3}}$，即$a_2$是$x$的$\frac{2}{3}$阶无穷小。

3. 求$a_3$的等价小

当$x\to0^+$时，$(1 + u)^alpha - 1\sim alpha u$。
对于$a_3 = \sqrt[3]{x + 1} - 1$，令$1 + u) = \sqrt[3]{x + 1}，则当\(x\to0^+$时，$u\to0$，此时$\sqrt[3]{x + 1} - 1\sim\frac{1}{3}x$。
所以$a_3 = \sqrt[3]{x + 1} - 1\sim\frac{1}{3}x$，即$a_3$是$x$的一阶无穷小。

4. 比较阶数

因为$\frac{2}{3}<1<2$，所以从低阶到高阶的排序是$a_2$，$a_3$，$a_1$。