[题目]设函数f x)在 (-infty ,+infty ) 上有定义,在区间-|||-[0,2]上, (x)=x((x)^2-4), 若对任意的x都满足-|||-(x)=kf(x+2), 其中k为常数.-|||-(1)写出f(x)在 [ -2,0] 上的表达式;-|||-(Ⅱ)问k为何值时,f (x)在 x=0 处可导.

考查要点：本题主要考查函数的递推关系及分段函数在分界点处的可导性判断。
解题思路：

1. 第（1）问：利用递推关系式$f(x)=kf(x+2)$，将未知区间$[-2,0]$的函数值转化为已知区间$[0,2]$上的表达式。
2. 第（2）问：判断函数在$x=0$处可导，需保证左右导数相等。分别计算左右导数，建立方程求解$k$的值。
   关键点：

• 递推关系的应用：通过变量替换将未知区间与已知区间关联。
• 可导性条件：左右导数存在且相等，需注意分段函数在分界点的表达式差异。

第（1）题

当$x \in [-2,0]$时，$x+2 \in [0,2]$，根据递推关系$f(x)=kf(x+2)$，且在$[0,2]$上$f(x+2)=(x+2)[(x+2)^2-4]$。
展开计算：
$\begin{aligned}f(x) &= k(x+2)\left[(x+2)^2 -4\right] \\&= k(x+2)(x^2 +4x +4 -4) \\&= k(x+2)(x^2 +4x) \\&= kx(x+2)(x+4).\end{aligned}$
因此，$f(x)$在$[-2,0]$上的表达式为$f(x)=kx(x+2)(x+4)$。

第（2）题

步骤1：计算右导数$f'_+(0)$
在$[0,2]$上，$f(x)=x(x^2-4)$，导数为：
$f'(x) = 3x^2 -4.$
带入$x=0$得：
$f'_+(0) = 3 \cdot 0^2 -4 = -4.$

步骤2：计算左导数$f'_-(0)$
在$[-2,0]$上，$f(x)=kx(x+2)(x+4)$，展开为$f(x)=k(x^3 +6x^2 +8x)$，导数为：
$f'(x) = k(3x^2 +12x +8).$
带入$x=0$得：
$f'_-(0) = k(3 \cdot 0^2 +12 \cdot 0 +8) = 8k.$

步骤3：令左右导数相等
可导条件要求$f'_-(0) = f'_+(0)$，即：
$8k = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{1}{2}.$