已知函数f(x)在[0，1]上具有2阶导数，且f(0)=0，f(1)=1，(int )_(0)^1f(x)dx=1，证明：(1)存在xi in (0，1)，使得 f'(xi )=0；(2)存在eta in (0，1)，使得 f''(eta )lt -2.
已知函数$f\left(x\right)$在$[0，1]$上具有$2$阶导数，且$f\left(0\right)=0$，$f\left(1\right)=1$，${\int }_{0}^{1}f\left(x\right)dx=1$，证明：
$\left(1\right)$存在$\xi \in (0，1)$，使得 $f'\left(\xi \right)=0$；
$\left(2\right)$存在$\eta \in (0，1)$，使得 $f''\left(\eta \right)\lt -2$.
题目解答
答案
解析
考查要点：
本题主要考查微分中值定理、积分中值定理以及泰勒展开的应用，需要结合函数的极值、导数与积分的关系进行推导。
解题核心思路：
- 第一问：通过分析函数的最大值位置，结合积分条件，利用极值的必要条件证明存在导数为零的点。
- 第二问：在已知一阶导数为零的点基础上，利用泰勒展开或二阶导数的中值定理，结合函数值的大小推导二阶导数的不等式。
破题关键点：
- 积分条件与极值的关系：若函数的最大值不超过1，则积分无法达到1，从而矛盾，说明最大值必须大于1，进而存在内部极大值点。
- 泰勒展开的应用：通过在极值点附近展开函数，结合端点条件，建立二阶导数与函数值的关系。
第（1）题
步骤1：假设最大值不超过1，导出矛盾
假设函数$f(x)$在$[0,1]$上的最大值$M \leq 1$，则积分$\int_0^1 f(x)dx \leq M \cdot 1 \leq 1$。但题目中积分等于1，因此必须有$M=1$，且$f(x)$在几乎处处等于1。然而$f(0)=0$，$f(1)=1$，矛盾，故$f(x)$的最大值$M>1$。
步骤2：存在极大值点
由$f(x)$连续且在$(0,1)$内取得最大值$M>1$，根据极值的必要条件，存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi)=0$。
第（2）题
步骤1：构造泰勒展开
在$\xi$处对$f(x)$进行泰勒展开：
$f(0) = f(\xi) - f'(\xi)\xi + \frac{1}{2}f''(\eta)\xi^2 \quad (\eta \in (0,\xi))$
由$f(0)=0$和$f'(\xi)=0$，得：
$0 = f(\xi) + \frac{1}{2}f''(\eta)\xi^2 \implies f''(\eta) = -\frac{2f(\xi)}{\xi^2}$
步骤2：结合$f(\xi) > 1$推导不等式
由于$\xi \in (0,1)$，有$\xi^2 < 1$，且$f(\xi) > 1$，因此：
$f''(\eta) = -\frac{2f(\xi)}{\xi^2} < -2f(\xi) \leq -2 \quad (\text{因}f(\xi) > 1)$