题目

设有5个独立同类型的充电桩，在任一时刻，每个充电桩被使用的概率为0.1，则在同一时刻：(1) 恰有2个充电桩被使用的概率是多少？(2) 至多有3个充电桩被使用的概率是多少？

设有5个独立同类型的充电桩，在任一时刻，每个充电桩被使用的概率为0.1，则在同一时刻： (1) 恰有2个充电桩被使用的概率是多少？ (2) 至多有3个充电桩被使用的概率是多少？

题目解答

答案

我们来逐步分析并解答这个题目。

题目分析

有 5 个独立同类型的充电桩，每个充电桩在任一时刻被使用的概率是 0.1，且各充电桩的使用情况相互独立。

这是一个典型的二项分布问题。

设随机变量 $ X $ 表示在同一时刻被使用的充电桩数量。

则 $ X \sim B(n=5, p=0.1) $，即 $ X $ 服从参数为 $ n = 5 $、$ p = 0.1 $ 的二项分布。

二项分布的概率质量函数为：

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

其中：

  • $ n = 5 $
  • $ p = 0.1 $
  • $ 1 - p = 0.9 $

(1) 恰有 2 个充电桩被使用的概率是多少？

即求 $ P(X = 2) $

$P(X = 2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^3$

计算各部分：

  • $ \binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $
  • $ (0.1)^2 = 0.01 $
  • $ (0.9)^3 = 0.729 $

所以：

$P(X = 2) = 10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.1 \times 0.729 = 0.0729$

✅ 答案 (1)： $ \boxed{0.0729} $

(2) 至多有 3 个充电桩被使用的概率是多少？

即求 $ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) $

我们逐项计算：

① $ P(X = 0) $

$P(X = 0) = \binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times 0.9^5$

计算 $ 0.9^5 $：

$0.9^2 = 0.81 \\ 0.9^4 = (0.81)^2 = 0.6561 \\ 0.9^5 = 0.6561 \times 0.9 = 0.59049$

所以：

$P(X = 0) = 0.59049$

② $ P(X = 1) $

$P(X = 1) = \binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561$

$= 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$

③ $ P(X = 2) $

前面已算出：$ P(X = 2) = 0.0729 $

④ $ P(X = 3) $

$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.1)^3 (0.9)^2$

  • $ \binom{5}{3} = 10 $
  • $ (0.1)^3 = 0.001 $
  • $ (0.9)^2 = 0.81 $

$P(X = 3) = 10 \times 0.001 \times 0.81 = 0.01 \times 0.81 = 0.0081$

现在将四项相加：

$P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081$

逐步相加：

  • $ 0.59049 + 0.32805 = 0.91854 $
  • $ 0.91854 + 0.0729 = 0.99144 $
  • $ 0.99144 + 0.0081 = 0.99954 $

✅ 答案 (2)： $ \boxed{0.99954} $

最终答案：

(1) 恰有 2 个被使用的概率是： $ \boxed{0.0729} $

(2) 至多有 3 个被使用的概率是： $ \boxed{0.99954} $

解析

考查要点：本题主要考查二项分布的概率计算，涉及独立事件的概率乘法原理和组合数的应用。

解题核心思路：

  1. 识别二项分布模型：题目中充电桩的使用情况是独立的，且每次试验（每个充电桩）的结果只有两种可能（被使用或不被使用），符合二项分布的条件。
  2. 公式应用：直接使用二项分布的概率质量函数 $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ 计算具体概率。
  3. 累加求和：对于“至多”类问题，需将满足条件的所有可能情况的概率相加。

破题关键点：

  • 正确计算组合数 $\binom{n}{k}$。
  • 准确处理小数幂运算，避免计算错误。
  • 分步计算并验证中间结果，确保累加过程无误。

第（1）题

恰有2个充电桩被使用的概率
设随机变量 $X$ 表示被使用的充电桩数量，则 $X \sim B(n=5, p=0.1)$。
根据二项分布公式：
$P(X=2) = \binom{5}{2} (0.1)^2 (0.9)^{5-2}$
计算步骤：

  1. 组合数：$\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
  2. 概率部分：
    • $(0.1)^2 = 0.01$
    • $(0.9)^3 = 0.729$
  3. 相乘：$10 \times 0.01 \times 0.729 = 0.0729$

答案：$\boxed{0.0729}$

第（2）题

至多有3个充电桩被使用的概率
需计算 $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$。

逐项计算：

  1. $P(X=0)$
    $\binom{5}{0} (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times 0.59049 = 0.59049$
  2. $P(X=1)$
    $\binom{5}{1} (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.32805$
  3. $P(X=2)$
    已计算为 $0.0729$。
  4. $P(X=3)$
    $\binom{5}{3} (0.1)^3 (0.9)^2 = 10 \times 0.001 \times 0.81 = 0.0081$

累加结果：
$0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081 = 0.99954$

答案：$\boxed{0.99954}$