2.(2020真题)学校有足球和篮球的数量比为8:7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的比变为3:2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球数量比为7:6.已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少个?A. 48B. 42C. 36D. 30

考查要点：本题主要考查比例变化问题中的变量设定与方程建立能力，以及分步处理多个比例变化的能力。

解题核心思路：

1. 设定初始比例：根据题目初始比例设未知数，用变量表示原有足球和篮球的数量。
2. 分步处理比例变化：分别对两次购买操作建立比例方程，求出购买数量与初始变量的关系。
3. 利用差值关系求解：通过“买进足球比篮球多3个”的条件建立方程，最终求出初始变量。

破题关键点：

• 正确设定初始变量，避免混淆两次购买后的数量关系。
• 分步列方程时注意每次操作后数量的更新。
• 代数运算的准确性，尤其是分数运算和方程求解。

设原来足球数量为 $8x$，篮球数量为 $7x$。

第一次买进足球

1. 设买进足球数量为 $a$，此时足球数量变为 $8x + a$，篮球数量仍为 $7x$。
2. 根据比例关系列方程：
   $\frac{8x + a}{7x} = \frac{3}{2}$
3. 解方程：
   $2(8x + a) = 3 \cdot 7x \implies 16x + 2a = 21x \implies 2a = 5x \implies a = \frac{5x}{2}$

第二次买进篮球

1. 设买进篮球数量为 $b$，此时足球数量为 $8x + \frac{5x}{2} = \frac{21x}{2}$，篮球数量变为 $7x + b$。
2. 根据比例关系列方程：
   $\frac{\frac{21x}{2}}{7x + b} = \frac{7}{6}$
3. 解方程：
   $6 \cdot \frac{21x}{2} = 7(7x + b) \implies 63x = 49x + 7b \implies 14x = 7b \implies b = 2x$

利用差值关系求解

1. 根据题意，买进足球比篮球多3个：
   $a - b = 3$
2. 代入 $a = \frac{5x}{2}$ 和 $b = 2x$：
   $\frac{5x}{2} - 2x = 3 \implies \frac{5x - 4x}{2} = 3 \implies \frac{x}{2} = 3 \implies x = 6$
3. 求原有足球数量：
   $8x = 8 \cdot 6 = 48$