函数 =dfrac (1)({x)^2+1} 是 ()A、偶函数B、奇函数C、单调函数D、无界函数

考查要点：本题主要考查函数的基本性质，包括奇偶性、单调性、有界性等概念的理解与应用。

解题核心思路：

1. 判断奇偶性：通过验证$f(-x)$与$f(x)$的关系，确定函数是否为偶函数或奇函数。
2. 分析单调性：通过求导数并分析其符号变化，判断函数是否在整个定义域内单调。
3. 判断有界性：通过分析函数值的范围，判断是否存在上下界。

破题关键点：

• 偶函数的定义：若$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。
• 导数的符号变化：导数的正负变化表明函数在不同区间的增减趋势。
• 分母的最小值：分母$x^2 + 1$的最小值为1，直接决定函数的最大值。

选项A：偶函数

1. 验证$f(-x)$：
   $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x)$
   因此，函数满足偶函数的定义。

选项B：奇函数

1. 验证$f(-x)$与$-f(x)$的关系：
   $f(-x) = f(x) \neq -f(x)$
   因此，函数不是奇函数。

选项C：单调函数

1. 求导数：
   $y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) = \frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$
2. 分析导数符号：
   • 当$x > 0$时，$y' < 0$，函数单调递减；
   • 当$x < 0$时，$y' > 0$，函数单调递增。
     因此，函数在定义域内不整体单调。

选项D：无界函数

1. 分析函数值范围：
   • 分母$x^2 + 1 \geq 1$，故$0 < \frac{1}{x^2 + 1} \leq 1$。
   • 函数值始终在$(0, 1]$之间，有界。