事件A B C,满足P（A）=P（B）=P（C）=1/4 ,P(AB)=P(AC)=0 ,P(BC)=1/8 证明：A,B,C 中至少有一个发生概率为5/8

考查要点：本题主要考查概率的加法公式（容斥原理）的应用，以及事件独立性的理解。关键在于正确处理多个事件同时发生的概率关系。

解题核心思路：
题目要求证明至少有一个事件发生的概率为$\frac{5}{8}$。可以通过以下两种思路解决：

1. 直接计算：利用容斥原理展开三个事件的并集概率。
2. 间接计算：先求三个事件都不发生的概率，再用$1$减去该概率。

破题关键点：

• 事件间的关系：题目给出$P(AB)=P(AC)=0$，说明事件$A$与$B$、$A$与$C$互斥（不能同时发生），但$P(BC)=\frac{1}{8}$，说明$B$与$C$可以同时发生。
• 三事件交集概率：由于$A$与$B$、$A$与$C$互斥，因此$P(ABC)=0$。

方法一：直接应用容斥原理

根据容斥原理，三个事件的并集概率为：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= P(A) + P(B) + P(C) \\&\quad - P(AB) - P(AC) - P(BC) \\&\quad + P(ABC)\end{aligned}$
代入已知条件：

• $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$
• $P(AB)=P(AC)=0$，$P(BC)=\frac{1}{8}$
• $P(ABC)=0$（因$A$与$B$、$A$与$C$互斥）

计算得：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - 0 - \frac{1}{8} + 0 \\&= \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \\&= \frac{6}{8} - \frac{1}{8} \\&= \frac{5}{8}\end{aligned}$

方法二：间接计算（补集法）

三个事件都不发生的概率为：
$\begin{aligned}P(\text{都不发生}) &= 1 - P(A \cup B \cup C) \\&= 1 - \left[ P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) \right] \\&= 1 - \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \right) \\&= 1 - \frac{5}{8} \\&= \frac{3}{8}\end{aligned}$
因此，至少有一个事件发生的概率为：
$1 - P(\text{都不发生}) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$