题目

12.设A^k=0(k为正整数)，证明(E-A)^-1=E+A+A^2+...+A^k-1.

12.设$A^{k}=0(k$为正整数)，证明$(E-A)^{-1}=E+A+A^{2}+\cdots+A^{k-1}$.

题目解答

答案

设 $A^k = 0$（$k$ 为正整数），则
$(E-A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}) = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1} - (A + A^2 + \cdots + A^k) = E - A^k = E$
由于 $A^k = 0$，上式成立。因此，$E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$ 是 $(E-A)$ 的逆矩阵，即
$(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}$
结论：
$\boxed{(E-A)^{-1} = E + A + A^2 + \cdots + A^{k-1}}$

解析

本题考查逆矩阵的定义及矩阵乘法运算。解题的关键思路是根据逆矩阵的定义，若两个矩阵相乘结果为单位矩阵，则这两个矩阵互为逆矩阵。所以我们只需证明$(E - A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})$的结果为单位矩阵$E$即可。

  1. 首先，根据矩阵乘法的分配律展开$(E - A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})$：
    • $(E - A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})=E\times(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})-A\times(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})$。
    • 因为单位矩阵$E$与任何同阶矩阵相乘都等于该矩阵本身，所以$E\times(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})=E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}$。
    • 再根据矩阵乘法分配律，$A\times(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})=A + A^2 + \cdots + A^{k}$。
    • 则$(E - A)(E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1})=E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}-(A + A^2 + \cdots + A^{k})$。
  2. 然后，去括号并化简上式：
    • $E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}-(A + A^2 + \cdots + A^{k})=E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}-A - A^2 - \cdots - A^{k}$。
    • 通过合并同类项，$A$与$-A$、$A^2$与$-A^2$、$\cdots$、$A^{k - 1}$与$-A^{k - 1}$都相互抵消，得到$E - A^{k}$。
  3. 最后，根据已知条件$A^{k}=0$（$k$为正整数）：
    • 把$A^{k}=0$代入$E - A^{k}$，可得$E - A^{k}=E-0 = E$。
    • 由逆矩阵的定义可知，若$AB = E$，则$B$是$A$的逆矩阵，所以$E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}$是$(E - A)$的逆矩阵，即$(E - A)^{-1}=E + A + A^2 + \cdots + A^{k - 1}$。