1.求下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)dfrac ({e)^xcos x+5}(1+{x)^2+ln (1-x)} =-|||-(3) lim _(xarrow {0)^-}(sqrt (dfrac {1)(x)+sqrt (dfrac {1)(x)+sqrt (dfrac {1)(x)}}}-sqrt (dfrac {1)(x)-sqrt (dfrac {1)(x)+sqrt (dfrac {1)(x)}})}-|||-√(1/x)-√(1/(x-√(x+√x)/-|||-(4) lim _(xarrow +infty )dfrac (sqrt {x+sqrt {x+sqrt {x)}}}(sqrt {x+1)}-|||-(2) lim _(xarrow +infty )(sqrt (x+sqrt {x+sqrt {x)}}-sqrt (x)) ;-|||-;(5) lim _(xarrow 0)((1+sin x))^cot x

题目1(1)：$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{e}^{x}\cos x+5}{1+{x}^{2}+\ln (1-x)}$

考察知识：极限的代入法（连续函数的极限等于函数值）。
解题思路：当$x\rightarrow0$时，分子分母中的函数均连续，直接代入$x=0$计算：

• 分子：$e^0\cos0 + 5 = 1\cdot1 + 5 = 6$
• 分母：$1 + 0^2 + \ln(1-0) = 1 + 0 + 0 = 1$
  结果：$\frac{6}{1}=6$。

题目1(2)：$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {x+\sqrt {x+\sqrt {x}}}-\sqrt {x})$

考察知识：无穷大根式的极限（分子有理化）。
解题思路：根号差形式通过分子有理化化简：
$\begin{align*}&\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\\=&\frac{(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x})}{\sqrtsqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\\=&\frac{(x+\sqrt{x+\sqrt{x}})-x)}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\end{align*}$
分子分母同除以$\sqrt{x}$：
$\frac{\sqrt{1+\sqrt{x}}}{\sqrt{1+\sqrt[4]{x}+\sqrt[8]{x}}+1}\rightarrow\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
结果：$\frac{1}{2}$。

题目1(3)：$\lim_{x→0⁻}(√(1/x + √(1/x + √(1/x))) - √(1/x - √(1/x + √(1/x))))

考察知识：复合根式的化简（换元法）。
解题思路：设$t=\frac{1}{x}$（$t→+∞$），则：
$\text{原式}=\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t^{1/2}}}}-\sqrt{t-\sqrt{t+\sqrt{t}}}$
分子有理化：
$=\frac{(t+\sqrt{t+\sqrt{t}})-(t-\sqrt{t+\sqrt{t}})}{\sqrt{t+\sqrt{t+\sqrt{t}}}+\sqrt{t-\sqrt{t+\sqrt{t}}}$
分子$=2\sqrt{t+\sqrt{t}}$，分母$=2\sqrt{t}+o(\sqrt{t})$，同除以$\sqrt{t}$得：
$\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{t}}}}{2(1+o(1))}\rightarrow1$
结果：$1$。

题目1(4)：$\lim _{x\rightarrow +\infty }\dfrac {\sqrt {x+\sqrt {x+\sqrt {x}}}}{\sqrt {x+1}}$

考察知识：无穷大根式的极限（同除最高次项）。
解题思路：分子分母同除以$\sqrt{x}$：
$\frac{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{\frac{1}{x^3}}}}{\sqrt{1+\frac{1x}}\rightarrow\frac{\sqrt{1+0+0}}{\sqrt{1+0}}=1$
结果：$1$。

题目1(5)：$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+\sin x)}^{\cot x}$

考察知识：重要极限$(1+u)^{\frac{1}{u}}\rightarrow e$（$u→0$）。
解题思路：$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$，设$u=\sin x$（$u→0$），则：
$(1+u)^{\frac{\cos x}{u}}=\left[(1+u)^{\frac{1}{u}}\right]^{\cos x}\rightarrow e^1=e$
结果：$e$。