题目

(4)设A=[a_(1),a_(2),a_(3),a_(4)]是四阶矩阵，方程组Ax=b的通解是(2,1,0,1)^T+k(1,-1,2,0)^T.证明：a_(4)不能由a_(1),a_(2),a_(3)线性表出，但a_(4)可由a_(1),a_(2),b线性表出并写出表达式.

(4)设$A=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]$是四阶矩阵，方程组$Ax=b$的通解是(2,1,0,1)$^{T}+k(1,-1,2,0)^{T}$.证明：$a_{4}$不能由$a_{1},a_{2},a_{3}$线性表出，但$a_{4}$可由$a_{1},a_{2},b$线性表出并写出表达式.

题目解答

答案

设 $ A = [a_1, a_2, a_3, a_4] $，方程组 $ Ax = b $ 的通解为 $ (2, 1, 0, 1)^T + k(1, -1, 2, 0)^T $。 1. **秩的分析**：通解中基础解系为 $ (1, -1, 2, 0)^T $，秩 $ r(A) = 4 - 1 = 3 $。 2. **$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, a_3 $ 的关系**：由 $ A(1, -1, 2, 0)^T = 0 $，得 $ a_1 - a_2 + 2a_3 = 0 $，即 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性相关。由于 $ r(A) = 3 $，$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性无关，故 $ a_4 $ 不能由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表出。 3. **$ a_4 $ 与 $ a_1, a_2, b $ 的关系**：由特解 $ (2, 1, 0, 1)^T $，得 $ A(2, 1, 0, 1)^T = b $，即 $ 2a_1 + a_2 + a_4 = b $。解得 $ a_4 = b - 2a_1 - a_2 $，故 $ a_4 $ 可由 $ a_1, a_2, b $ 线性表出。 **结论**： (1) $ a_4 $ 不能由 $ a_1, a_2, a_3 $ 线性表出。 (2) $ a_4 = b - 2a_1 - a_2 $。 \[ \boxed{ \begin{array}{l} \text{(1) } a_4 \text{ 不能由 } a_1, a_2, a_3 \text{ 线性表出。} \\ \text{(2) } a_4 = b - 2a_1 - a_2. \end{array} } \]

解析

题目考察知识

线性方程组通解结构、矩阵秩与向量组线性相关性、向量线性表出的判定。

解题思路

1. 秩的分析

线性方程组$Ax=b$的通解形式为“特解+基础解系的线性组合”。题目中通解为$(2,1,0,1)^T + k(1,-1,2,0)^T$，说明基础解系含1个向量，根据线性方程组理论：
$r(A) = n - \text{基础解系维数} = 4 - 1 = 3$
即矩阵$A$的列向量组$\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$的秩为3。

2. $a_4$不能由$a_1,a_2,a_3$线性表出的证明

基础解系向量$(1,-1,2,0)^T$满足$A(1,-1,2,0)^T=0$，展开得：
$1\cdot a_1 - 1\cdot a_2 + 2\cdot a_3 + 0\cdot a_4 = 0$
即$a_1 - a_2 + 2a_3 = 0$，说明$\{a_1,a_2,a_3\}$线性相关（存在非零系数组合使线性组合为零）。

由于$r(A)=3$，$A$的列向量组线性相关，但极大线性无关组含3个向量。若$a_4$能由$a_1,a_2,a_3$线性表出，则$\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$的秩≤$\{a_1,a_2,a_3\}$的秩≤2，与$r(A)=3$矛盾。因此$a_4$不能由$a_1,a_2,a_3$线性表出。

3. $a_4$可由$a_1,a_2,b$线性表出的证明

通解中的特解$(2,1,0,1)^T$满足$A(2,1,0,1)^T=b$，展开得：
$2\cdot a_1 + 1\cdot a_2 + 0\cdot a_3 + 1\cdot a_4 = b$
整理得：
$a_4 = b - 2a_1 - a_2$
该式表明$a_4$可由$a_1,a_2,b$线性表出，系数分别为$-2,-1,1$。