40 [2007] 当x→0+时，与sqrt(x)等价的无穷小量是A. 1-e^sqrt(x)B. ln(1+x)/(1-sqrt(x))C. sqrt(1+sqrt(x))-1D. 1-cossqrt(x).

本题考查等价无穷小量的概念及常见等价无穷小的应用。解题思路是根据等价无穷小的定义，判断当$x\to0^{+}$时，各选项与$\sqrt{x}$的比值的极限是否为$1$，若为$1$，则该选项与$\sqrt{x}$是等价无穷小量。

选项A

当$x\to0$时，$1 - e^{u}\sim -u$，令$u = \sqrt{x}$，当$x\to0^{+}$时，$u\to0^{+}$，则$1 - e^{\sqrt{x}}\sim - \sqrt{x}$。
计算$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1 - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$，根据等价无穷小替换可得：
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1 - e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=-1\neq1$
所以$1 - e^{\sqrt{x}}$与$\sqrt{x}$不是等价无穷小量。

选项B

先对$\ln\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}$进行变形：
$\ln\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}=\ln(1 + x)-\ln(1 - \sqrt{x})$
当$x\to0$时，$\ln(1 + u)\sim u$。
当$x\to0^{+}$时，$\ln(1 + x)\sim x$，$\ln(1 - \sqrt{x})\sim - \sqrt{x}$。
则$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\ln\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1 + x)-\ln(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}$
根据等价无穷小替换可得：
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\ln(1 + x)-\ln(1 - \sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x-(-\sqrt{x})}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}(\sqrt{x}+1)=1$
所以$\ln\frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}$与$\sqrt{x}$是等价无穷小量。

选项C

当$x\to0$时，$\sqrt{1 + u}-1\sim\frac{1}{2}u$，令$u = \sqrt{x}$，当$x\to0^{+}$时，$u\to0^{+}$，则$\sqrt{1 + \sqrt{x}}-1\sim\frac{1}{2}\sqrt{x}$。
计算$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}}$，根据等价无穷小替换可得：
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\sqrt{1 + \sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\neq1$
所以$\sqrt{1 + \sqrt{x}}-1$与$\sqrt{x}$不是等价无穷小量。

选项D

当$x\to0$时，$1 - \cos u\sim\frac{1}{2}u^{2}$，令$u = \sqrt{x}$，当$x\to0^{+}$时，$u\to0^{+}$，则$1 - \cos\sqrt{x}\sim\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}=\frac{1}{2}x$。
计算$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，根据等价无穷小替换可得：
$\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1 - \cos\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{\frac{1}{2}x}{\sqrt{x}}=\lim\limits_{x\to0^{+}}\frac{1}{2}\sqrt{x}=0\neq1$
所以$1 - \cos\sqrt{x}$与$\sqrt{x}$不是等价无穷小量。