题目
1.已知向量AB与单位向量e的夹角为150°,且 |overrightarrow (AB)|=10, 求射影向量,AB与射影,AB.又如果-|||-'=-e, 求射影向量,AB与射影,AB.
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查向量投影的概念及计算，包括标量投影和向量投影的求解，以及单位向量方向改变时投影的变化。
解题核心思路：
- 标量投影：向量$\overrightarrow{AB}$在单位向量$\mathbf{e}$方向上的标量投影为$|\overrightarrow{AB}| \cos\theta$，其中$\theta$为两向量夹角。
- 向量投影：标量投影乘以单位向量$\mathbf{e}$的方向，即$(|\overrightarrow{AB}| \cos\theta) \mathbf{e}$。
- 单位向量方向改变：当单位向量变为$-\mathbf{e}$时，需重新计算标量投影，并注意符号变化对结果的影响。
破题关键点：
- 正确计算$\cos150^\circ$的值，注意角度所在象限对符号的影响。
- 区分标量投影与向量投影，明确题目所求的具体形式。
- 理解单位向量方向改变时，投影方向的变化规律。
当单位向量为$\mathbf{e}$时：
- 标量投影：
$\text{标量投影} = |\overrightarrow{AB}| \cos150^\circ = 10 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -5\sqrt{3}$ - 向量投影：
$\text{向量投影} = (-5\sqrt{3}) \mathbf{e} = -5\sqrt{3} \mathbf{e}$
当单位向量为$\mathbf{e'} = -\mathbf{e}$时：
- 标量投影：
- $\overrightarrow{AB}$与$\mathbf{e'}$的夹角为$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$。
$\text{标量投影} = |\overrightarrow{AB}| \cos30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$
- $\overrightarrow{AB}$与$\mathbf{e'}$的夹角为$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$。
- 向量投影：
$\text{向量投影} = 5\sqrt{3} \cdot \mathbf{e'} = 5\sqrt{3} \cdot (-\mathbf{e}) = -5\sqrt{3} \mathbf{e}$