6.函数 =xcos x 在 (-infty ,+infty ) 内是否有界?这个函数是否为 arrow +infty 时的无穷大?为什-|||-么?-|||-7.证明:函数 =dfrac (1)(x)sin dfrac (1)(x) 在区间(0,1]内无界,但这函数不是x→0^+时的无穷大.-|||-8.求函数 (x)=dfrac (4)(2-{x)^2} 的图形的渐近线.

6. 函数 $y=x\cos x$ 的有界性和无穷大性
本题考查有界函数和无穷大的概念。关键点在于：

1. 有界性：虽然 $\cos x$ 有界，但乘以无界变量 $x$ 后，整体可能无界。
2. 无穷大：当 $x \to +\infty$ 时，$\cos x$ 的周期性振荡会导致函数值无法稳定趋向无穷大。

8. 函数渐近线的求解
本题考查水平渐近线和垂直渐近线的求法：

1. 水平渐近线：计算 $\lim_{x \to \pm\infty} f(x)$。
2. 垂直渐近线：找出使分母为零的 $x$ 值。

6. 函数 $y=x\cos x$ 的分析

是否有界？

关键思路：构造特定点使函数值无界。
取 $x = 2k\pi$（$k$ 为正整数），此时 $\cos x = 1$，函数值为 $y = x \cdot 1 = x$。当 $k \to +\infty$ 时，$y \to +\infty$，因此函数在 $(-\infty, +\infty)$ 上无界。

是否为无穷大？

关键思路：$\cos x$ 的周期性导致振荡。
当 $x \to +\infty$ 时，$\cos x$ 在 $[-1, 1]$ 间无限次振荡，使得 $y = x\cos x$ 在正负区间交替变化，无法趋向正无穷或负无穷。因此，不是无穷大。

8. 函数 $f(x) = \dfrac{4}{2 - x^2}$ 的渐近线

水平渐近线

计算 $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{2 - x^2}$：
分母 $2 - x^2 \approx -x^2$，故极限为 $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{4}{-x^2} = 0$，因此水平渐近线为 $y = 0$。

铅直渐近线

解方程 $2 - x^2 = 0$，得 $x = \pm\sqrt{2}$。当 $x \to \pm\sqrt{2}$ 时，分母趋近于 $0$，函数值趋向无穷大，因此铅直渐近线为 $x = \pm\sqrt{2}$。