证明序列傅里叶变换的下列性质： (1)x*(n)→X*(e^-jω) (2)x*(-n)→X*(e^jω) (3)Re[x(n)]→Xe(e^jω)

考查要点：本题主要考查序列傅里叶变换（DTFT）的共轭对称性、反转性质以及实部变换的性质。
解题核心思路：

1. 共轭性质：对序列取共轭后，其傅里叶变换与原变换共轭，并改变频率指数符号。
2. 反转性质：序列反转后，傅里叶变换的频率指数符号改变。
3. 实部分解：将复数序列分解为共轭对称部分，利用线性性质求解。
   破题关键：

• 灵活运用DTFT定义式，通过变量替换、共轭操作推导。
• 注意运算顺序（共轭与反转的组合操作）。

第（1）题

目标：证明 $x^*(n) \xrightarrow{\text{DTFT}} X^*(e^{-j\omega})$

根据DTFT定义

$\text{DTFT}[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^\infty x^*(n) e^{-j\omega n}$

取共轭并交换求和与共轭

$= \left[ \sum_{n=-\infty}^\infty x(n) e^{j\omega n} \right]^* = X^*(e^{j\omega})$

改写频率变量

令 $\omega' = -\omega$，则 $X^*(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j(-\omega)}) = X^*(e^{-j\omega})$，得证。

第（2）题

目标：证明 $x^*(-n) \xrightarrow{\text{DTFT}} X^*(e^{j\omega})$

变量替换

令 $m = -n$，则
$\text{DTFT}[x^*(-n)] = \sum_{m=-\infty}^\infty x^*(m) e^{j\omega m}$

应用第（1）题结论

由第（1）题知 $\text{DTFT}[x^*(m)] = X^*(e^{-j\omega})$，此处指数为 $e^{j\omega m}$，故结果为 $X^*(e^{j\omega})$，得证。

第（3）题

目标：证明 $\text{Re}[x(n)] \xrightarrow{\text{DTFT}} X_e(e^{j\omega})$

分解实部

$\text{Re}[x(n)] = \frac{x(n) + x^*(n)}{2}$

线性性质

$\text{DTFT}[\text{Re}[x(n)]] = \frac{1}{2} \left[ X(e^{j\omega}) + \text{DTFT}[x^*(n)] \right]$

代入第（1）题结果

$= \frac{1}{2} \left[ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) \right]$

共轭对称性

根据共轭对称部分定义 $X_e(e^{j\omega}) = \frac{1}{2} \left[ X(e^{j\omega}) + X^*(e^{-j\omega}) \right]$，得证。