lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {2x+1)-3}(sqrt {x-2)-sqrt (2)}=.

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是0/0型不定式的处理技巧。需要掌握洛必达法则或分子分母有理化的解题思路。

解题核心思路：
当直接代入$x=4$导致分子分母均为0时，需通过变形消除不定式。

• 方法一：使用洛必达法则，对分子分母分别求导后求极限。
• 方法二：通过分子分母有理化，将分式化简为可直接代入的形式。

破题关键点：

1. 识别极限类型为$\dfrac{0}{0}$型。
2. 选择合适的方法（洛必达法则或有理化）简化表达式。
3. 注意化简过程中代数运算的准确性。

方法一：洛必达法则

1. 验证条件：当$x \rightarrow 4$时，分子$\sqrt{2x+1}-3 \rightarrow 0$，分母$\sqrt{x-2}-\sqrt{2} \rightarrow 0$，属于$\dfrac{0}{0}$型不定式，满足洛必达法则条件。
2. 求导分子分母：
   • 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{2x+1}-3) = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$
   • 分母导数：$\dfrac{d}{dx}(\sqrt{x-2}-\sqrt{2}) = \dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$
3. 应用洛必达法则：
   $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt{2}} = \lim _{x\rightarrow 4} \dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}}{\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}} = \lim _{x\rightarrow 4} \dfrac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+1}}$
4. 代入计算：
   $\dfrac{2\sqrt{4-2}}{\sqrt{2 \cdot 4 +1}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

方法二：分子分母有理化

1. 分子有理化：
   $(\sqrt{2x+1}-3)(\sqrt{2x+1}+3) = (2x+1) - 9 = 2x - 8 = 2(x-4)$
2. 分母有理化：
   $(\sqrt{x-2}-\sqrt{2})(\sqrt{x-2}+\sqrt{2}) = (x-2) - 2 = x - 4$
3. 化简分式：
   $\dfrac{2(x-4)}{x-4} \cdot \dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x+1}+3} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{x-2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2x+1}+3}$
4. 代入计算：
   $2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{3+3} = \dfrac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{6} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$