设 lt alt blt 1, 证明不等式 arctanb-arctana

考查要点：本题主要考查利用拉格朗日中值定理证明不等式，以及通过不等式链进行变形和放缩的能力。

解题核心思路：

1. 构造函数：将不等式中的差商形式与导数联系起来，选择函数$f(x) = \arctan x$。
2. 应用中值定理：在区间$[a, b]$上应用拉格朗日中值定理，将$\arctan b - \arctan a$表示为导数在某点的值乘以区间长度。
3. 不等式变形：通过分析导数的表达式，结合$a < c < b$的条件，建立不等式链，最终完成证明。

破题关键点：

• 导数的单调性：$\frac{1}{1 + c^2}$随$c$增大而减小，利用$a < c < b$的范围进行放缩。
• 关键不等式：通过变形证明$2ab < 1 + c^2$，需结合$a < c$和均值不等式思想。

步骤1：应用拉格朗日中值定理
设$f(x) = \arctan x$，则$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$。在区间$[a, b]$上，根据拉格朗日中值定理，存在$c \in (a, b)$，使得：
$\arctan b - \arctan a = f'(c)(b - a) = \frac{b - a}{1 + c^2}.$

步骤2：转化目标不等式
原不等式等价于：
$\frac{b - a}{1 + c^2} < \frac{b - a}{2ab}.$
两边同除以正数$b - a$，得：
$\frac{1}{1 + c^2} < \frac{1}{2ab}.$
进一步变形为：
$2ab < 1 + c^2.$

步骤3：分析$c$的范围
由于$c \in (a, b)$且$a < b < 1$，可知$c > a$，因此：
$c^2 > a^2 \quad \Rightarrow \quad 1 + c^2 > 1 + a^2.$

步骤4：建立关键不等式
需证明$1 + a^2 > 2ab$。变形得：
$1 + a^2 - 2ab = (a - b)^2 + 1 - b^2.$
因为$a < b < 1$，所以$(a - b)^2 > 0$且$1 - b^2 > 0$，故：
$1 + a^2 - 2ab > 0 \quad \Rightarrow \quad 1 + a^2 > 2ab.$

步骤5：综合不等式链
结合上述结果：
$1 + c^2 > 1 + a^2 > 2ab \quad \Rightarrow \quad 2ab < 1 + c^2.$
因此，原不等式成立。