【题目】设在时间t(分钟)内,通过某交叉路口的汽车数服从参数与t成正比的泊松分布,已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内最多一辆汽车通过的概率

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率计算，以及参数的求解方法。关键在于理解泊松分布的参数与时间的关系，并利用已知条件求出比例常数，进而计算指定时间内的概率。

解题思路：

1. 确定泊松分布参数：题目中参数与时间成正比，设参数为$\lambda = a t$，其中$a$为比例常数。
2. 利用已知条件求$a$：根据1分钟内无汽车通过的概率$P(X(1)=0)=0.2$，代入泊松分布公式求解$a$。
3. 计算目标概率：在2分钟内最多1辆汽车通过的概率$P(X(2)\leq1)$，即计算$k=0$和$k=1$的概率之和。

破题关键：正确建立泊松分布的参数与时间的关系，并通过已知条件求出比例常数$a$，再代入目标时间计算概率。

步骤1：确定泊松分布参数

设时间$t$内通过的汽车数$X(t)$服从参数为$\lambda = a t$的泊松分布，其概率质量函数为：
$P(X(t)=k) = \frac{(a t)^k e^{-a t}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$

步骤2：求比例常数$a$

已知1分钟内无汽车通过的概率为$0.2$，即：
$P(X(1)=0) = \frac{(a \cdot 1)^0 e^{-a \cdot 1}}{0!} = e^{-a} = 0.2$
解得：
$a = -\ln 0.2 = \ln 5$

步骤3：计算2分钟内最多1辆汽车的概率

在2分钟内，参数为$\lambda = a \cdot 2 = 2 \ln 5$。目标概率为：
$P(X(2) \leq 1) = P(X(2)=0) + P(X(2)=1)$
分别计算：

1. $k=0$时：
   $P(X(2)=0) = \frac{(2 \ln 5)^0 e^{-2 \ln 5}}{0!} = e^{-2 \ln 5} = \frac{1}{25}$
2. $k=1$时：
   $P(X(2)=1) = \frac{(2 \ln 5)^1 e^{-2 \ln 5}}{1!} = \frac{2 \ln 5}{25}$
   总概率：
   $P(X(2) \leq 1) = \frac{1}{25} + \frac{2 \ln 5}{25} = \frac{1 + 2 \ln 5}{25}$