67.设当x→∞时，(1)/(ax^2)+bx+c是比(1)/(x+1)高阶的无穷小，求常数a、b、c的值.
题目解答
答案
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{ax^2 + bx + c}$ 是比 $\frac{1}{x+1}$ 高阶的无穷小，即
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{ax^2 + bx + c}}{\frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{ax^2 + bx + c} = 0.$
分子最高次项为 $x$，分母最高次项为 $ax^2$。为使极限为 0，分母的最高次项系数 $a$ 必须不为 0，即 $a \neq 0$。此时，无论 $b$ 和 $c$ 取何值，极限均满足条件。
答案：
$a \neq 0$，$b$、$c$ 为任意常数。
$\boxed{a \neq 0, \quad b, c \text{ 为任意常数}}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷小比较的概念，以及多项式函数在无穷远处的极限比较。
解题核心思路：
当$x \to \infty$时，若$\frac{1}{ax^2 + bx + c}$是比$\frac{1}{x+1}$高阶的无穷小，则需满足$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{ax^2 + bx + c}}{\frac{1}{x+1}} = 0$。通过分析分子和分母的最高次项次数及系数关系，确定$a, b, c$的取值条件。
破题关键点：
- 比较分子与分母的最高次项次数：分子$x+1$的最高次项为$x$（次数1），分母$ax^2 + bx + c$的最高次项为$ax^2$（次数2）。
- 次数差决定极限性质：当分母次数高于分子次数时，极限为0，此时只需保证分母的最高次项系数$a \neq 0$，而$b, c$的取值不影响最高次项的次数和系数。
根据题意，需满足：
$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{ax^2 + bx + c}}{\frac{1}{x+1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{ax^2 + bx + c} = 0.$
步骤1：分析分子与分母的最高次项
- 分子：$x + 1$的最高次项为$x$（次数1）。
- 分母：$ax^2 + bx + c$的最高次项为$ax^2$（次数2）。
步骤2：比较次数与系数
当$x \to \infty$时，分式的极限由最高次项决定：
$\frac{x}{ax^2} = \frac{1}{ax} \to 0 \quad (a \neq 0).$
因此，分母的最高次项系数$a$必须非零，即$a \neq 0$。此时，无论$b$和$c$取何值，分母的最高次项仍为$ax^2$，极限恒为0。
结论：
$a \neq 0$，$b$和$c$为任意常数。