【例1】lim_(xto0^+)(e^x-1-x)/(sqrt(1-x)-cossqrt(x))=____.

本题主要考察利用泰勒展开求极限，核心思路是将分子分母在$x \to 0^+$时展开到合适的幂次，通过等价无穷小替换简化极限计算。

步骤1：分子的泰勒展开

分子为$e^x - 1 - x$，根据$e^x$的泰勒展开公式：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + o(x^2) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
代入分子得：
$e^x - 1 - x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)$
当$x \to 0$时，$e^x - 1 - x \sim \frac{x^2}{2}$。

步骤22：分母的泰勒展开

分母为$\sqrt{1 - x} - \cos\sqrt{x}$，分别展开两项：

1. $\sqrt{1 - x}$的展开：
   利用$(1 + t)^\alpha \sim 泰勒展开（\(\alpha = \frac{1}{2}$，$t = -x$）：
   $(1 -x)^\alpha = 1 + \alpha t + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}t^2 + o(t^2$
   代入得：
   $\sqrt{1 - x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})}{2}x^2 + o(x^2) = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + o(x^2)$

2. $\cos\sqrt{x}$的展开：
   利用$\cos t$的泰勒展开（$t = \sqrt{x}$）：
   $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} + o(t^4)$
   代入$t = \sqrt{x}$（$t^2 = x$，$t^4 = x^2$，高阶无穷小$o(x^2)$）：
   $\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} + o(x^2)$

3. 分母的差：**
   $\sqrt{1 - x} - \cos\sqrt{x} = \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}\right) - \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24}\right) + o(x^2)$
   化简得：
   $= -\frac{x^2}{8} - \frac{x^2}{24} + o(x^2) = -\frac{3x^2 + x^2}{24} + o(x^2) = -\frac{x^2}{6} + o(x^2)$
   当$x \to 0$时，$\sqrt{1 - x} - \cos\sqrt{x} \sim -\frac{x^2}{6}$。

步骤3：计算极限

将分子分母的等价无穷小代入原极限：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{-\frac{x^2}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{6}} = -3$