题目

设数列|x_(n)|满足：x_(1)in(0,pi)，x_(n+1)=sin x_(n)(nin N_(+)).证明lim_(ntoinfty)x_(n)存在，并求此极限.

设数列$|x_{n}|$满足：$x_{1}\in(0,\pi)$，$x_{n+1}=\sin x_{n}(n\in N_{+})$.证明$\lim_{n\to\infty}x_{n}$存在，并求此极限.

题目解答

答案

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 \in (0, \pi)$，且 $x_{n+1} = \sin x_n$。 1. **有界性**： 由 $x_1 \in (0, \pi)$，知 $x_2 = \sin x_1 \in (0, 1]$。对于 $n \geq 2$，$x_n \in (0, 1]$，因 $\sin x$ 在 $(0, 1]$ 内值域为 $(0, \sin 1] \subset (0, 1]$。故数列有界。 2. **单调性**： 考虑 $x_{n+1} - x_n = \sin x_n - x_n$。令 $f(x) = \sin x - x$，则 $f'(x) = \cos x - 1 \leq 0$（当 $x \in (0, \pi)$ 时），且 $f(0) = 0$。因此，$f(x) < 0$ 对 $x \in (0, \pi)$ 成立，即 $x_{n+1} < x_n$。数列单调递减。 3. **极限**： 由单调有界准则，数列收敛。设极限为 $L$，则 $L = \sin L$。在 $[0, \pi]$ 内，该方程的解为 $L = 0$。 **结论**：数列极限存在，且极限为 $\boxed{0}$。

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性证明及求解，涉及单调有界定理的应用，以及方程求解的能力。

解题核心思路：

  1. 有界性：通过数学归纳法证明数列被区间$(0,1]$限制。
  2. 单调性：利用函数$f(x)=\sin x -x$在$(0,\pi)$内的单调性，证明数列单调递减。
  3. 极限求解：结合递推关系和方程$L=\sin L$，确定极限值。

破题关键点：

  • 函数$\sin x$在$(0,\pi)$内的性质：$\sin x < x$，且$\sin x$的值域为$(0,1]$。
  • 方程$L=\sin L$的唯一解：在$[0,\pi]$内，只有$L=0$满足。

1. 证明数列有界

  • 初始项：$x_1 \in (0,\pi)$，则$x_2 = \sin x_1 \in (0,1]$。
  • 归纳假设：假设$x_n \in (0,1]$，则$x_{n+1} = \sin x_n \in (0, \sin 1] \subset (0,1]$。
  • 结论：数列$\{x_n\}$被$(0,1]$限制，即有上界1，下界0。

2. 证明数列单调递减

  • 构造函数：$f(x) = \sin x - x$，其导数为$f'(x) = \cos x - 1 \leq 0$（当$x \in (0,\pi)$时）。
  • 单调性：$f(x) < 0$在$(0,\pi)$内恒成立，故$x_{n+1} = \sin x_n < x_n$，即数列单调递减。

3. 求极限值

  • 极限存在性：由单调有界定理，数列收敛，设极限为$L$。
  • 递推关系：$\lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \sin x_n$，得$L = \sin L$。
  • 方程求解：在$[0,\pi]$内，唯一解为$L=0$（因$\sin x < x$在$(0,\pi)$内成立）。