5.应用柯西收敛准则,证明以下数列(an)收敛:-|||-(1) _(n)=dfrac (sin 1)(2)+dfrac (sin 2)({2)^2}+... +dfrac (sin n)({2)^n} ;-|||-(2) _(n)=1+dfrac (1)({2)^2}+dfrac (1)({3)^2}+... +dfrac (1)({n)^2}

题目考察知识

本题主要考察柯西收敛准则的应用。柯西收敛准则指出：数列$\{a_n\}$收敛的充要条件是，对任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n > m > N$时，有$|a_n - a_m| < \varepsilon$。

（1）数列$a_n=\sum_{k=1}^n \frac{\sin k}{2^k}$的收敛性证明

解题思路

对于$n > m$，$|a_n - a_m|$是$\sum_{k=m+1}^n \frac{\sin k}{2^k}$的绝对值。利用$|\sin k| \leq 1$放缩，转化为等比数列求和，再通过等比数列极限控制$\varepsilon$。

详细步骤

1. 绝对值与放缩：
   对对$n > m$，有：
   $|a_n - a_m| = \left| \sum_{k=m+1}^n \frac{\sin k}{2^k} \right| \leq \sum_{k=m+1}^n \left| \frac{\sin k}{2^k} \right| \leq \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{2^k}$
2. 等比数列求和：
   等比数列$\sum_{_{k=m+1}^n \frac{1}{2^k}$的和为：
   $\sum_{k=m+1}^n \frac{1{2^k} = \frac{1}{2^{m+1}} + \frac{1}{2^{m+2}} + \cdots + \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^m} \left(1 - \frac{1}{2^{n-m}}\right) < \frac{1}{2^m}$
3. 控制$\varepsilon$ 对任意$\varepsilon > 0$，取$N = \left[\log_2 \frac{1}{\varepsilon}\right] + + 当\(n > m > N$时，\\(\frac{1}{2^m} < \varepsilon\)，故a_n - a_m| < \varepsilon)。
   由柯西收敛准则，$\{a_n\}$收敛。

（2）数列$a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$的收敛性证明

解题思路

对$n > m$，$|a_n - a_m| = \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k^2}$，利用\(\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}拆分为裂项相消数列，简化求和结果。 ### 详细步骤 1. **裂项放缩**： 对$k \geq 2$时，$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$，故：
$|a_n - a_m| = \sum_{k=m+1}^n \frac{1}{k^2} < \sum_{k=m+1}^n \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$
2. 裂项相消去：
求和得：
[
\sum_{k=m+1}^n \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = \frac{a_n})收敛。