设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求随机变量Z = X + Y的分布律.

考查要点：本题主要考查独立随机变量和的分布律的计算方法，需要理解独立性条件下联合概率的性质，并能正确列举所有可能的组合情况。

解题核心思路：

1. 确定Z的可能取值：将X和Y的所有可能取值相加，得到Z的候选值。
2. 合并重复值：若不同组合得到相同的和，则需合并对应概率。
3. 计算概率：利用独立性，将各组合对应的联合概率相加。

破题关键点：

• 独立性应用：X与Y独立，故$P(X=x,Y=y)=P(X=x) \cdot P(Y=y)$。
• 穷举所有组合：确保所有可能的$(x,y)$组合都被考虑，避免遗漏。

步骤1：确定Z的可能取值

• X的取值为1、3，Y的取值为2、4。
• 所有可能的和为：
  • $1+2=3$
  • $1+4=5$
  • $3+2=5$
  • $3+4=7$
• 合并重复值，Z的可能取值为3、5、7。

步骤2：计算各取值的概率

Z=3

• 唯一组合：$X=1$且$Y=2$。
• 概率计算：
  $P(Z=3) = P(X=1) \cdot P(Y=2) = 0.3 \times 0.6 = 0.18$

Z=5

• 两种组合：$X=1$且$Y=4$，或$X=3$且$Y=2$。
• 概率计算：
  $P(Z=5) = P(X=1) \cdot P(Y=4) + P(X=3) \cdot P(Y=2) = 0.3 \times 0.4 + 0.7 \times 0.6 = 0.12 + 0.42 = 0.54$

Z=7

• 唯一组合：$X=3$且$Y=4$。
• 概率计算：
  $P(Z=7) = P(X=3) \cdot P(Y=4) = 0.7 \times 0.4 = 0.28$

步骤3：验证概率和为1

$0.18 + 0.54 + 0.28 = 1.0$
验证通过，计算正确。