题目

类似地，已知函数 f(x) 在 x=1 处可导，且 lim_(x to 0) (f(e^x^2) - 3f(1 + sin^2 x))/(x^2) = 2，求 f'(1).

类似地， 已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\lim_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = 2$，求 $f'(1)$.

题目解答

答案

我们已知函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处可导，且给出极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = 2$

要求的是 $ f'(1) $。

第一步：分析极限中的各个部分

我们观察极限中的表达式：

$\frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2}$

当 $ x \to 0 $ 时：

  • $ x^2 \to 0 $
  • $ e^{x^2} \to e^0 = 1 $
  • $ \sin x \to 0 $，所以 $ \sin^2 x \to 0 $，因此 $ 1 + \sin^2 x \to 1 $

所以 $ f(e^{x^2}) \to f(1) $，$ f(1 + \sin^2 x) \to f(1) $，整个分子趋于 $ f(1) - 3f(1) = -2f(1) $，而分母趋于 0。但极限存在且等于 2，说明分子也趋于 0，因此：

$-2f(1) = 0 \Rightarrow f(1) = 0$

这是一个重要信息：$ f(1) = 0 $

第二步：利用可导性进行线性近似

由于 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处可导，我们可以对 $ f $ 在 $ x = 1 $ 附近进行一阶泰勒展开（或用微分近似）：

$f(1 + u) = f(1) + f'(1)u + o(u) \quad \text{当 } u \to 0$

我们分别处理 $ f(e^{x^2}) $ 和 $ f(1 + \sin^2 x) $

处理 $ f(e^{x^2}) $

令 $ e^{x^2} = 1 + u $，我们展开 $ e^{x^2} $：

$e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \cdots = 1 + x^2 + o(x^2)$

所以：
$f(e^{x^2}) = f(1 + x^2 + o(x^2)) = f(1) + f'(1)(x^2 + o(x^2)) + o(x^2)$

因为 $ f(1) = 0 $，所以：

$f(e^{x^2}) = f'(1) x^2 + o(x^2)$

处理 $ f(1 + \sin^2 x) $

先展开 $ \sin x $：

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots \Rightarrow \sin^2 x = x^2 - \frac{x^4}{3} + \cdots = x^2 + o(x^2)$

所以：
$1 + \sin^2 x = 1 + x^2 + o(x^2)$

于是：
$f(1 + \sin^2 x) = f(1 + x^2 + o(x^2)) = f(1) + f'(1)(x^2 + o(x^2)) + o(x^2) = f'(1) x^2 + o(x^2)$

第三步：代入原式

现在代入原极限表达式：

$\frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = \frac{[f'(1) x^2 + o(x^2)] - 3[f'(1) x^2 + o(x^2)]}{x^2}$

$= \frac{f'(1) x^2 - 3f'(1) x^2 + o(x^2)}{x^2} = \frac{-2f'(1) x^2 + o(x^2)}{x^2}$

$= -2f'(1) + o(1)$

当 $ x \to 0 $ 时，$ o(1) \to 0 $，所以极限为：

$\lim_{x \to 0} \frac{f(e^{x^2}) - 3f(1 + \sin^2 x)}{x^2} = -2f'(1)$

但题目给出这个极限等于 2，所以：

$-2f'(1) = 2 \Rightarrow f'(1) = -1$

最终答案：

$\boxed{f'(1) = -1}$

解析

考查要点：本题主要考查导数的定义、泰勒展开（一阶近似）的应用，以及极限的计算。关键在于利用函数在某点可导的条件，将复杂表达式线性化，从而简化极限计算。

解题思路：

  1. 观察极限形式：分子为两个函数值的差，分母为$x^2$，当$x \to 0$时，分子必须趋近于0才能使极限存在。
  2. 确定$f(1)$的值：通过分子趋近于0的条件，直接求出$f(1)=0$。
  3. 泰勒展开近似：利用$f(x)$在$x=1$处可导的条件，对$f(e^{x^2})$和$f(1+\sin^2x)$进行一阶泰勒展开，保留主要项。
  4. 代入化简：将展开后的表达式代入原极限，通过比较系数求出$f'(1)$。

步骤1：确定$f(1)$的值

当$x \to 0$时：

  • $e^{x^2} \to 1$，故$f(e^{x^2}) \to f(1)$；
  • $\sin^2x \to 0$，故$f(1+\sin^2x) \to f(1)$。

此时分子$f(e^{x^2}) - 3f(1+\sin^2x) \to f(1) - 3f(1) = -2f(1)$，分母$x^2 \to 0$。
由于极限存在且为2，分子必须趋近于0，因此：
$-2f(1) = 0 \quad \Rightarrow \quad f(1) = 0.$

步骤2：泰勒展开近似

处理$f(e^{x^2})$：

  • 展开$e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)$；
  • 代入泰勒展开式：
    $f(e^{x^2}) = f(1 + x^2 + o(x^2)) = f(1) + f'(1)(x^2 + o(x^2)) + o(x^2).$
  • 由于$f(1)=0$，化简得：
    $f(e^{x^2}) = f'(1)x^2 + o(x^2).$

处理$f(1+\sin^2x)$：

  • 展开$\sin^2x = x^2 + o(x^2)$；
  • 代入泰勒展开式：
    $f(1+\sin^2x) = f(1 + x^2 + o(x^2)) = f(1) + f'(1)(x^2 + o(x^2)) + o(x^2).$
  • 同理化简得：
    $f(1+\sin^2x) = f'(1)x^2 + o(x^2).$

步骤3：代入原式并化简

将展开结果代入原极限：
$\begin{aligned}\frac{f(e^{x^2}) - 3f(1+\sin^2x)}{x^2} &= \frac{[f'(1)x^2 + o(x^2)] - 3[f'(1)x^2 + o(x^2)]}{x^2} \\&= \frac{-2f'(1)x^2 + o(x^2)}{x^2} \\&= -2f'(1) + o(1).\end{aligned}$
当$x \to 0$时，$o(1) \to 0$，故极限为：
$-2f'(1) = 2 \quad \Rightarrow \quad f'(1) = -1.$