2.1.2 在区域 = (x,y):0leqslant xleqslant pi ,0leqslant yleqslant sin x 内任取一点,以X表示该点-|||-的横坐标,求X的分布函数.

考查要点：本题主要考查几何概率模型下随机变量分布函数的求解方法，涉及二重积分的应用及分段函数的表达。

解题核心思路：

1. 确定区域面积：计算区域$D$的总面积$S$，作为概率的分母。
2. 分段讨论：根据$x$的不同取值范围（$x<0$，$0 \leq x \leq \pi$，$x>\pi$），分别计算对应概率。
3. 几何概率公式：在$0 \leq x \leq \pi$时，概率为满足$X \leq x$的区域面积与总面积$S$的比值。

破题关键点：

• 总面积计算：通过积分$\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$求得$S=2$。
• 分段概率计算：在$0 \leq x \leq \pi$时，面积为$\int_{0}^{x} \sin t \, dt = 1 - \cos x$，概率为$\frac{1 - \cos x}{2}$。

步骤1：计算区域$D$的总面积$S$

区域$D$的面积为：
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \Big|_{0}^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 2.$

步骤2：分段讨论分布函数$F(x)$

当$x < 0$时

$X$不可能小于$0$，故：
$F(x) = 0.$

当$0 \leq x \leq \pi$时

满足$X \leq x$的区域面积为：
$\int_{0}^{x} \sin t \, dt = 1 - \cos x.$
因此概率为：
$F(x) = \frac{1 - \cos x}{2}.$

当$x > \pi$时

$X$一定不超过$\pi$，故：
$F(x) = 1.$