题目
已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T．问： (1) a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示 (2) a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示并写出此表示式。
已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T．问： (1) a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示 (2) a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示并写出此表示式。
题目解答
答案
向量β能否由α1，α2，α3线性表示，实质上等价于下述方程组有解或无解的问题：Ax=β，其中 [*] 从而 [*] 相应的增广矩阵为 [*] 利用初等行变换，将B化为阶梯形如下 [*] (1) 当b≠2时，r(A)＜r(B)，此时方程组Ax=β无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示． (2) 当b=2，a≠1时，r(A)=r(B)且r(A)=3，此时方程组Ax=β有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 [*] 因此该唯一解为x=[*]因此β可由α1，α2，α3唯一表示为β=-α1+2α2． 当b=2，a=1时，r(A)=r(B)且r(A)=2＜3，此时方程组Ax=β有无穷解，相应的行简化阶梯形为 [*] 其导出组的基础解系为(-3，3，1)T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为 C(-3，3，1)T+(-1，2，0)T， 其中C为任意常数．此时β可由α1，α2，α3表示为 β=-(3C+1)α1+(3C+2)α2+cα3．
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵B，其中A由α1，α2，α3构成，β为增广部分。即 [*] 相应的增广矩阵为 [*]
步骤 2：化简增广矩阵
利用初等行变换，将B化为阶梯形如下 [*]
步骤 3：分析方程组解的情况
(1) 当b≠2时，r(A)＜r(B)，此时方程组Ax=β无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示．
(2) 当b=2，a≠1时，r(A)=r(B)且r(A)=3，此时方程组Ax=β有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 [*] 因此该唯一解为x=[*]因此β可由α1，α2，α3唯一表示为β=-α1+2α2．
当b=2，a=1时，r(A)=r(B)且r(A)=2＜3，此时方程组Ax=β有无穷解，相应的行简化阶梯形为 [*] 其导出组的基础解系为(-3，3，1)T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为 C(-3，3，1)T+(-1，2，0)T， 其中C为任意常数．此时β可由α1，α2，α3表示为 β=-(3C+1)α1+(3C+2)α2+cα3．
构造增广矩阵B，其中A由α1，α2，α3构成，β为增广部分。即 [*] 相应的增广矩阵为 [*]
步骤 2：化简增广矩阵
利用初等行变换，将B化为阶梯形如下 [*]
步骤 3：分析方程组解的情况
(1) 当b≠2时，r(A)＜r(B)，此时方程组Ax=β无解，即β不能由α1，α2，α3线性表示．
(2) 当b=2，a≠1时，r(A)=r(B)且r(A)=3，此时方程组Ax=β有唯一解，且相应的行简化阶梯形为 [*] 因此该唯一解为x=[*]因此β可由α1，α2，α3唯一表示为β=-α1+2α2．
当b=2，a=1时，r(A)=r(B)且r(A)=2＜3，此时方程组Ax=β有无穷解，相应的行简化阶梯形为 [*] 其导出组的基础解系为(-3，3，1)T，原方程组特解为(-1，2，0)T，则通解为 C(-3，3，1)T+(-1，2，0)T， 其中C为任意常数．此时β可由α1，α2，α3表示为 β=-(3C+1)α1+(3C+2)α2+cα3．