题目
设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) = a + bx , ( 0 < x < 1 )， 且 E ( X ) = dfrac (7)(12),则 b - 2 a = __________.
设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) = a + bx , ( 0 < x < 1 )， 且 E ( X ) = 
,则 b - 2 a = __________.
题目解答
答案
由题意得
,
即
,
又因
,
即
,
联合上面两个方程，解得
,
故
解析
步骤 1：确定概率密度函数的归一化条件
根据概率密度函数的性质，其在定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
${\int }_{0}^{1}(a+bx)dx=1$，
即$a+\dfrac {b}{2}=1$。
步骤 2：计算期望值
根据期望值的定义，我们有：
$E(X)={\int }_{0}^{1}x(a+bx)dx=\dfrac {7}{12}$，
即$\dfrac {a}{2}+\dfrac {b}{3}=\dfrac {7}{12}$。
步骤 3：解方程组求解 a 和 b
联立步骤1和步骤2中的方程，我们得到方程组：
$a+\dfrac {b}{2}=1$，
$\dfrac {a}{2}+\dfrac {b}{3}=\dfrac {7}{12}$。
解这个方程组，得到$a=\dfrac {1}{2}$，$b=1$。
步骤 4：计算 b - 2a
根据求得的 a 和 b 的值，计算 b - 2a：
$b - 2a = 1 - 2\times \dfrac {1}{2} = 0$。
根据概率密度函数的性质，其在定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
${\int }_{0}^{1}(a+bx)dx=1$，
即$a+\dfrac {b}{2}=1$。
步骤 2：计算期望值
根据期望值的定义，我们有：
$E(X)={\int }_{0}^{1}x(a+bx)dx=\dfrac {7}{12}$，
即$\dfrac {a}{2}+\dfrac {b}{3}=\dfrac {7}{12}$。
步骤 3：解方程组求解 a 和 b
联立步骤1和步骤2中的方程，我们得到方程组：
$a+\dfrac {b}{2}=1$，
$\dfrac {a}{2}+\dfrac {b}{3}=\dfrac {7}{12}$。
解这个方程组，得到$a=\dfrac {1}{2}$，$b=1$。
步骤 4：计算 b - 2a
根据求得的 a 和 b 的值，计算 b - 2a：
$b - 2a = 1 - 2\times \dfrac {1}{2} = 0$。