题目
3.证明,我们也可以用条件I,ll以及下面的条件N`,v`来作群的定义:-|||-N`.G里至少存在一个右单位元e,能让-|||-ae=a-|||-对于G的任何元a都成立;-|||-V.对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元 ^n -1 , 能让-|||-(a)^n -1 =e
题目解答
答案
证不是一个群 ， 因为不适合结合律2. 举一个有两个元的群的例子.证 G=1,1对于普通乘法来说是一个群.3. 证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件4,5来作群的定义:4.G至少存在一个右单位元 e,能让ae =a 对于G的任何元a都成立5 .对于G的每一个元a ,在G里至少存在一个右逆元a1,能让aa e证(1)一个右逆元一定是一个左逆元 ， 意思是由aa1 =e 得Ja a 二e因为由4 G有元a能使aa =e所以(aa)e (aa)(aa)即 aa = e(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元 ， 意即由 。
解析
步骤 1：定义群的条件
群是一个集合G，它满足以下条件：
I. 结合律：对于G中的任意三个元素a, b, c，有 (ab)c = a(bc)。
II. 存在单位元：存在一个元素e，使得对于G中的任意元素a，有ae = a。
III. 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素 $a^{-1}$，使得 $aa^{-1} = e$。
步骤 2：证明条件N'和V'可以替代条件II和III
N'. G里至少存在一个右单位元e，能让 ae=a 对于G的任何元a都成立。
V'. 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元 $a'\{ -1\} $，能让 $a{a}^{n}-1\} =e$。
步骤 3：证明右单位元也是左单位元
假设e是G中的右单位元，即对于G中的任意元素a，有ae = a。我们需要证明ea = a。
考虑任意元素a，根据条件V'，存在一个右逆元 $a^{-1}$，使得 $aa^{-1} = e$。因此，我们有：
$$
ea = (aa^{-1})a = a(a^{-1}a) = ae = a
$$
步骤 4：证明右逆元也是左逆元
假设 $a^{-1}$ 是G中元素a的右逆元，即 $aa^{-1} = e$。我们需要证明 $a^{-1}a = e$。
考虑任意元素a，根据条件N'，存在一个右单位元e，使得ae = a。因此，我们有：
$$
a^{-1}a = a^{-1}(aa^{-1}) = (a^{-1}a)a^{-1} = ea^{-1} = a^{-1}
$$
群是一个集合G，它满足以下条件：
I. 结合律：对于G中的任意三个元素a, b, c，有 (ab)c = a(bc)。
II. 存在单位元：存在一个元素e，使得对于G中的任意元素a，有ae = a。
III. 存在逆元：对于G中的任意元素a，存在一个元素 $a^{-1}$，使得 $aa^{-1} = e$。
步骤 2：证明条件N'和V'可以替代条件II和III
N'. G里至少存在一个右单位元e，能让 ae=a 对于G的任何元a都成立。
V'. 对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元 $a'\{ -1\} $，能让 $a{a}^{n}-1\} =e$。
步骤 3：证明右单位元也是左单位元
假设e是G中的右单位元，即对于G中的任意元素a，有ae = a。我们需要证明ea = a。
考虑任意元素a，根据条件V'，存在一个右逆元 $a^{-1}$，使得 $aa^{-1} = e$。因此，我们有：
$$
ea = (aa^{-1})a = a(a^{-1}a) = ae = a
$$
步骤 4：证明右逆元也是左逆元
假设 $a^{-1}$ 是G中元素a的右逆元，即 $aa^{-1} = e$。我们需要证明 $a^{-1}a = e$。
考虑任意元素a，根据条件N'，存在一个右单位元e，使得ae = a。因此，我们有：
$$
a^{-1}a = a^{-1}(aa^{-1}) = (a^{-1}a)a^{-1} = ea^{-1} = a^{-1}
$$